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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 量子力学中波函数为什么要写成复数形式
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mlzwm

木虫 (小有名气)
为了满足薛定谔方程...
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21楼2011-11-03 21:51:21
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流水孤村

新虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by opanane at 2011-11-02 15:51:01:
不应定要用复数形式。复数一定可以由两个实数表示，可以把波函数分拆成两个实函数。只是这样做比较麻烦而已。至于能不能得到薛定谔方程之类的，你可以自己试着去把薛定谔方程分成实部和虚部，写成两个方程。
物理 ...

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22楼2011-11-03 23:53:26
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opanane

木虫 (小有名气)
引用回帖:
20楼: Originally posted by warderme at 2011-11-03 20:59:36:
1：薛定谔方程不是推导出来的；
2：量子力学中力学量用算符表示，比如动量算符本身就含有虚数单位i；
3：波函数的复数形式包含相位，这个可能是最本质的，比如单光子干涉，Berry相位等等必须涉及到相位。。。

第一条正解。
第二条，力学量用算符表示是表示理论，不是物理理论的实质；动量算符是否含有虚数是和表象相关的。
第三条，我非常认同相位可能是更本质的，AB效应，berry相位等等都说明了相位有着举足轻重的地位。但是相位本身是实数，在时空中的分布是实函数，这恰恰说明了波函数的复数形式的更依赖于实数形式的相位。如果你知道一块石头里有玉，那你你更注重玉的大小和品质，还是外面的石头的粗糙或者圆润？

波函数也好，算符也罢，一旦写成数学符号就是一套表示理论。不要把表示理论和物理实质相等同。这些数学上的东西都不过是为了描述物理实质，谁可以证明，这种表示是唯一的，没有任何其他的等价同构的表示？谁又能证明在其他的等价表示中，波函数一定是复数形式。
复数形式完全有理由可以表示成两个实函数，重新定义所有的算符，将实数部分和虚数部分分开计算，只不过各种规律或者运算不是那么简洁而已。
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23楼2011-11-04 01:02:43
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walk1997

金虫 (著名写手)
"谁又能证明在其他的等价表示中，波函数一定是复数形式。"
--------
看上面，很多人认为把复的波函数写成2个实的波函数或者换个表象就可以绕开问题，个人认为不是这样的。
（1）不管取哪个表象，对易子ih都是一样的，这里面为了保证夭证性引入的i和表象无关，也与波函数满足什么样的方程无关。

（2）把复的波函数写成2个实的波函数，然后看成和1个实函数情况一样的，也是不合适的。需要2个实波函数来描述的粒子，表明它有内部属性，这就像电磁场可以用3个实数场来描述一样（有极化），和一个单独的实函数有不一样的性质。
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24楼2011-11-04 20:26:19
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307495921
引用回帖:
24楼: Originally posted by walk1997 at 2011-11-04 20:26:19:
"谁又能证明在其他的等价表示中，波函数一定是复数形式。"
--------
看上面，很多人认为把复的波函数写成2个实的波函数或者换个表象就可以绕开问题，个人认为不是这样的。
（1）不管取哪个表象，对易 ...

25楼2011-11-04 21:17:11
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opanane

木虫 (小有名气)
引用回帖:
24楼: Originally posted by walk1997 at 2011-11-04 20:26:19:
"谁又能证明在其他的等价表示中，波函数一定是复数形式。"
--------
看上面，很多人认为把复的波函数写成2个实的波函数或者换个表象就可以绕开问题，个人认为不是这样的。
（1）不管取哪个表象，对易 ...

设(a+ib)(c+id)=x+iy            a,b,c,d,x,y都是实数
x=ac-bd
y=ad+bc
计算x,y可以完全不用虚数单位i。
假如我规定这样一种乘法，(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)，定义加法运算(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),
对于所有的复数的乘法和加法都可以有这样的实数运算计算，完全抛弃复数的概念。
对于第一条，我们随便取一个表象，把算符写成矩阵形式。对易子是由矩阵的乘法和加法构成。利用上面所说的完全可以抛弃复数概念。
n维的一个复向量，一定可以用一个2n维的实向量表示。复函数不过是两个复空间之间的映射关系，必然可以更高维的实空间之间的映射来表示。实函数的概念可不是仅指象空间是一维的实映射。
对于第二条，参考上条。

你觉得复数形式是必须的，只是你习惯于复数运算而已，你熟悉的那些复数运算都可以用你不熟悉的实数运算来代替，只是你会觉得不方便罢了。
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26楼2011-11-05 00:39:48
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lbing9002

木虫 (正式写手)
引用回帖:
19楼: Originally posted by 307495921 at 2011-11-03 20:39:08:
好像是将光子带到波动方程中可以E=pc吧

详见周世勋的《量子力学教程》P26（2.3-1）式
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穷则独善其身，达则兼济天下。
27楼2011-11-05 09:43:19
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walk1997

金虫 (著名写手)
引用回帖:
26楼: Originally posted by opanane at 2011-11-05 00:39:48:
设(a+ib)(c+id)=x+iy            a,b,c,d,x,y都是实数
x=ac-bd
y=ad+bc
计算x,y可以完全不用虚数单位i。
假如我规定这样一种乘法，(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)，定义加法运算(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),
对于所有 ...

"n维的一个复向量，一定可以用一个2n维的实向量表示。"
----
这是没问题,复数的代数本来就是二元数.
我想说的是
(1)这个二元数的代数结构是和表象无关的
(再怎么变换表象,也不会变成可以用实数来完整描述波函数).
(2)需要用二元数表示一个粒子,表明这个粒子有内部属性,在Sch方程的情况下,就是电子有电荷,和一个不带电的中性粒子有区别(后者可以用一个实函数来描述).
好比矢量和标量,虽然只是分量数目不同,但我觉得不能把前者看成是后者组成的东西.
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28楼2011-11-05 19:04:48
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walk1997

金虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by walk1997 at 2011-11-05 19:04:48:
"n维的一个复向量，一定可以用一个2n维的实向量表示。"
----
这是没问题,复数的代数本来就是二元数.
我想说的是
(1)这个二元数的代数结构是和表象无关的
(再怎么变换表象,也不会变成可以用实数来 ...

"需要用二元数表示一个粒子,表明这个粒子有内部属性,在Sch方程的情况下,就是电子有电荷,"
----
对不起，说这个内部属性是带电，不正确，嗯，应该说这个内部属性和自旋有关。 带电与否的话，是标量场情况下的内部属性：复数（带电）实数（不带电）。
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29楼2011-11-05 19:20:27
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warderme

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
26楼: Originally posted by opanane at 2011-11-05 00:39:48:
设(a+ib)(c+id)=x+iy            a,b,c,d,x,y都是实数
x=ac-bd
y=ad+bc
计算x,y可以完全不用虚数单位i。
假如我规定这样一种乘法，(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)，定义加法运算(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),
对于所有 ...

关于表象，你说的对。不过波函数的复数形式，正如24楼所说，不可能通过你说的分解成实部和虚部来理解。坐标和动量之间的不对易关系是确定的[q,p]=ih，波函数满足的运动方程本身就是复方程......
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30楼2011-11-05 21:04:42
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