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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 关于算子值域的问题
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xuyx_78

金虫 (小有名气)

[求助] 关于算子值域的问题

求解答：若算子T是定义在Hilbert空间上的闭算子，其值域是否是闭的？如果是闭的，如何说明？
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1楼 2011-09-01 10:53:58
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alpha94

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~ 2011-09-02 22:07:21
xuyx_78(金币+2): 感谢回复，但仍有地方需商榷！ 2011-09-03 09:39:21
值域是闭的。直接根据定义检验。回忆闭算子A:H-->H的定义是如果x(n) \ in H 使得Ax(n) ----> y\in H, 那么存在x\in H 满足Ax=y. 假设Ax(n)是像中的一系列元素，收敛于y，那么根据定义存在x使得Ax=y, 这就说明了y也在A的像中。
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2楼2011-09-02 22:01:45
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xuyx_78

金虫 (小有名气)
感谢您的回复。但在闭算子的定义中要求：Xn-->x,AXn-->y,若有Ax=y,才称A是闭算子，而不是存在x,不知道是否是我理解有问题。
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3楼2011-09-03 09:38:01
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alpha94

金虫 (小有名气)
你的理解是正确的。只需找到这样的x即可. 注意到在证明A的像是闭的时候，我们总可以找到y(n)---->x 使得Ax(n)=Ay(n), Ax(n)=Ax. 你可以考虑Hilbert space H投射到H/kerA.
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4楼2011-09-04 20:41:56
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★
math105(金币+2): 谢谢专家回答问题 2011-09-06 15:35:17
一个闭算子的值域自然不必是闭的，好比说任何一个紧线性算子，当然是闭算子（所有的紧算子都是有界的，所有具有闭定义域的有界算子都是闭的），然而可以证明：如果紧算子的值域是闭的，那么这个值域一定是有限维空间。在此基础上，只要找一个无穷秩的紧算子，它的值域一定不是闭的。

好比说 H=l^2 （平方收敛复数序列的全体），对于 x= (x_1, x_2 , ...., x_n, ....) 令
Tx  = (x_1 /1,  x_2 /2, ...,  x_n /n, ....)
这就是一个值域非闭的算子，尽管它作为定义在全空间上的有界算子，一定是闭算子。

由于鄙人机器上没有latex，只能描述性地说明一下，见谅了。
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xuyx_78
5楼2011-09-05 13:19:53
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xuyx_78

金虫 (小有名气)
送鲜花一朵
引用回帖:
5楼: Originally posted by Pchief at 2011-09-05 13:19:53:
一个闭算子的值域自然不必是闭的，好比说任何一个紧线性算子，当然是闭算子（所有的紧算子都是有界的，所有具有闭定义域的有界算子都是闭的），然而可以证明：如果紧算子的值域是闭的，那么这个值域一定是有限维空 ...

感谢您的提示，让我对这个问题有了更明确的认识！
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6楼2011-09-05 22:27:01
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zqpping

银虫 (正式写手)
如果将有界算子T：X---X看成是T：X----R(T),其中R(T)是算子值域，那么此时若
考虑R(T)上的算子值域拓扑，则T：X----R(T)是有界的，且一定有闭值域。
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清平
7楼2011-09-07 08:47:17
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