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金虫 (小有名气)

[求助] 关于算子值域的问题

求解答：若算子T是定义在Hilbert空间上的闭算子，其值域是否是闭的？如果是闭的，如何说明？

1楼 2011-09-01 10:53:58

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金虫 (小有名气)

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soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~ 2011-09-02 22:07:21
xuyx_78(金币+2): 感谢回复，但仍有地方需商榷！ 2011-09-03 09:39:21

值域是闭的。直接根据定义检验。回忆闭算子A:H-->H的定义是如果x(n) \ in H 使得Ax(n) ----> y\in H, 那么存在x\in H 满足Ax=y. 假设Ax(n)是像中的一系列元素，收敛于y，那么根据定义存在x使得Ax=y, 这就说明了y也在A的像中。

2楼2011-09-02 22:01:45

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金虫 (小有名气)

你的理解是正确的。只需找到这样的x即可. 注意到在证明A的像是闭的时候，我们总可以找到y(n)---->x 使得Ax(n)=Ay(n), Ax(n)=Ax. 你可以考虑Hilbert space H投射到H/kerA.

4楼2011-09-04 20:41:56

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