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xuyx_78

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[求助] 关于算子值域的问题

求解答：若算子T是定义在Hilbert空间上的闭算子，其值域是否是闭的？如果是闭的，如何说明？

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1楼 2011-09-01 10:53:58

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Pchief

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★ ★
math105(金币+2): 谢谢专家回答问题 2011-09-06 15:35:17

一个闭算子的值域自然不必是闭的，好比说任何一个紧线性算子，当然是闭算子（所有的紧算子都是有界的，所有具有闭定义域的有界算子都是闭的），然而可以证明：如果紧算子的值域是闭的，那么这个值域一定是有限维空间。在此基础上，只要找一个无穷秩的紧算子，它的值域一定不是闭的。

好比说 H=l^2 （平方收敛复数序列的全体），对于 x= (x_1, x_2 , ...., x_n, ....) 令
Tx = (x_1 /1, x_2 /2, ..., x_n /n, ....)
这就是一个值域非闭的算子，尽管它作为定义在全空间上的有界算子，一定是闭算子。

由于鄙人机器上没有latex，只能描述性地说明一下，见谅了。