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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 椭圆 内接 等边 多边形 的约束方程
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
首先可以确定，这样的等边多边形只可能是4、8、12......等边数为4的整数倍的等边多边形。其次，根据事先确定的边的数量，确定需要求出几个椭圆上的顶点。比如求等边八边形时，以第一象限为例，设点P(x,y)为所求椭圆上的点，因此起坐标满足椭圆方程；而且P到长短轴顶点的距离相等，又可列出一个方程。两个方程两个未知数，求解后即得到解答。更多的边数时依此原则办理，，只不过要求解更大的多元二次非线性方程组。
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11楼2017-04-09 09:01:12
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Mr__Right

专家顾问 (著名写手)
★ ★
Edstrayer: 金币+2 2017-04-11 02:16:58
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11楼: Originally posted by peterflyer at 2017-04-09 09:01:12
首先可以确定，这样的等边多边形只可能是4、8、12......等边数为4的整数倍的等边多边形。其次，根据事先确定的边的数量，确定需要求出几个椭圆上的顶点。比如求等边八边形时，以第一象限为例，设点P(x,y)为所求椭圆 ...

这里有个五边形的例子
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david.x
文章乃身外之物,要多考虑编辑、审稿人和读者的感受。
12楼2017-04-10 12:46:51
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
12楼: Originally posted by Mr__Right at 2017-04-10 12:46:51
这里有个五边形的例子

http://img.blog.csdn.net/20170410124201701?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvc3RlcmVvaG9tb2xvZ3k=/font/Q2FsaWJyaQ==/fontsize/300/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/90/grav ...

那么6、7、9、10、11、15......这些中哪些可以，那些不可以，有无判定方法？
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13楼2017-04-10 12:51:04
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Mr__Right

专家顾问 (著名写手)
引用回帖:
13楼: Originally posted by peterflyer at 2017-04-10 12:51:04
那么6、7、9、10、11、15......这些中哪些可以，那些不可以，有无判定方法？...

感觉很难。不是100个金币能解决的问题
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14楼2017-04-10 12:56:39
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alober

木虫 (著名写手)
★
Edstrayer: 金币+1 2017-04-11 02:17:16
引用回帖:
13楼: Originally posted by peterflyer at 2017-04-10 12:51:04
那么6、7、9、10、11、15......这些中哪些可以，那些不可以，有无判定方法？...

我觉得都是存在的，只要选定一个顶点作为起始点，不断按逆时针方向以半径r作圆与椭圆相交，交点作为新的圆心，继续作圆，当r很小时作完n次后终点必定不能达到起始点，不能构成n边形，当r很大时作完n次后终点必定越过起始点，根据连续性，存在一个r使得作完n次后恰好终点与起始点重合。
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15楼2017-04-10 13:00:48
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Mr__Right

专家顾问 (著名写手)
引用回帖:
15楼: Originally posted by alober at 2017-04-10 13:00:48
我觉得都是存在的，只要选定一个顶点作为起始点，不断按逆时针方向以半径r作圆与椭圆相交，交点作为新的圆心，继续作圆，当r很小时作完n次后终点必定不能达到起始点，不能构成n边形，当r很大时作完n次后终点必定越 ...

对圆来说，正多边形，内接，变数越多，则边长越小。

椭圆，内接等边 凸多边形，是否有类似的性质？？
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16楼2017-04-10 21:11:39
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alober

木虫 (著名写手)
★ ★
Edstrayer: 金币+2 2017-04-11 02:17:29
引用回帖:
16楼: Originally posted by Mr__Right at 2017-04-10 21:11:39
对圆来说，正多边形，内接，变数越多，则边长越小。

椭圆，内接等边 凸多边形，是否有类似的性质？？...

不知道这里的变数越多是不是指边数，如果是，那没有。考察椭圆和内接正三角形三顶点和内接正四边形四顶点，正四边形边长正三角形边长。
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17楼2017-04-10 22:39:43
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Mr__Right

专家顾问 (著名写手)
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17楼: Originally posted by alober at 2017-04-10 22:39:43
不知道这里的变数越多是不是指边数，如果是，那没有。考察椭圆\frac{x^2}{9}+4y^2=1和内接正三角形三顶点(3,0),(\frac{33}{13},\pm\frac{2\sqrt{3}}{13})和内接正四边形四顶点(\pm\frac{3}{\sqrt{37}},\pm\frac{3} ...

如果边长和边数之间的关系不单调，之前提到的调整圆的半径的作图方法就不太现实可行。

此外，原始问题要求过长短轴的四个端点（我后来刚刚注意到）。

所以，“存在性”看上去挺难，作图、代数表示可能都在“存在性”里面自然包含着
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18楼2017-04-11 06:32:28
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alober

木虫 (著名写手)
引用回帖:
18楼: Originally posted by Mr__Right at 2017-04-11 06:32:28
如果边长和边数之间的关系不单调，之前提到的调整圆的半径的作图方法就不太现实可行。

此外，原始问题要求过长短轴的四个端点（我后来刚刚注意到）。

所以，“存在性”看上去挺难，作图、代数表示可能都在“ ...

如果不过长短轴的四个端点，存在性是一定的，这和是否单调无关。设起点的坐标给定，就是定值了，于是第一次作圆时和椭圆的交点必定是圆半径r的函数，将交点选作新的圆心，半径仍是r，第二次作圆时与椭圆的交点还是r的函数，依此继续操作，最终的终点也是r的函数，只要求此函数连续而不要求单调。圆与椭圆至多有四个交点，只有在作正三角形时，由于三角形的稳定性，四个交点中必须选择唯一可行的一个，其它的不少于四边形时，都可以随意选择四个交点中的任意一个。
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19楼2017-04-11 08:37:56
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alober

木虫 (著名写手)
引用回帖:
18楼: Originally posted by Mr__Right at 2017-04-11 06:32:28
如果边长和边数之间的关系不单调，之前提到的调整圆的半径的作图方法就不太现实可行。

此外，原始问题要求过长短轴的四个端点（我后来刚刚注意到）。

所以，“存在性”看上去挺难，作图、代数表示可能都在“ ...

如果图形过椭圆的四个顶点，将椭圆标准方程放进直角坐标系，假设过四顶点的等边图形存在第一二象限不对称的情况，不妨设第一象限的边比第二象限的边少。考察第一二象限的图，假设第一象限有n条边，n条椭圆弧段，因为不对称，第二象限至少有n+1条边，即至少有n+1条椭圆弧段。把第二象限镜像到第一象限，由鸟窝原理，必有镜像后的一段椭圆弧段落在原第一象限中的n条椭圆弧段中，设这个镜像弧段的端点是，原一象限弧段的端点是，则由一象限y是x的减函数有，于是由距离公式知，与等边矛盾，所以一二象限必须对称。同理所有四个象限必须全对称，因此等边n边形里n必然是4的倍数。第一象限作图时仍可按调整法作出，然后对称就行了。
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20楼2017-04-11 17:08:00
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