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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer


【答案】应助回帖

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首先可以确定,这样的等边多边形只可能是4、8、12......等边数为4的整数倍的等边多边形。其次,根据事先确定的边的数量,确定需要求出几个椭圆上的顶点。比如求等边八边形时,以第一象限为例,设点P(x,y)为所求椭圆上的点,因此起坐标满足椭圆方程;而且P到长短轴顶点的距离相等,又可列出一个方程。两个方程两个未知数,求解后即得到解答。更多的边数时依此原则办理,,只不过要求解更大的多元二次非线性方程组。
11楼2017-04-09 09:01:12
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Mr__Right

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Edstrayer: 金币+2 2017-04-11 02:16:58
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11楼: Originally posted by peterflyer at 2017-04-09 09:01:12
首先可以确定,这样的等边多边形只可能是4、8、12......等边数为4的整数倍的等边多边形。其次,根据事先确定的边的数量,确定需要求出几个椭圆上的顶点。比如求等边八边形时,以第一象限为例,设点P(x,y)为所求椭圆 ...

这里有个五边形的例子

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文章乃身外之物,要多考虑编辑、审稿人和读者的感受。
12楼2017-04-10 12:46:51
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer


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12楼: Originally posted by Mr__Right at 2017-04-10 12:46:51
这里有个五边形的例子

http://img.blog.csdn.net/20170410124201701?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvc3RlcmVvaG9tb2xvZ3k=/font/Q2FsaWJyaQ==/fontsize/300/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/90/grav ...

那么6、7、9、10、11、15......这些中哪些可以,那些不可以,有无判定方法?
13楼2017-04-10 12:51:04
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Mr__Right

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13楼: Originally posted by peterflyer at 2017-04-10 12:51:04
那么6、7、9、10、11、15......这些中哪些可以,那些不可以,有无判定方法?...

感觉很难。不是100个金币能解决的问题
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14楼2017-04-10 12:56:39
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alober

木虫 (著名写手)


Edstrayer: 金币+1 2017-04-11 02:17:16
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13楼: Originally posted by peterflyer at 2017-04-10 12:51:04
那么6、7、9、10、11、15......这些中哪些可以,那些不可以,有无判定方法?...

我觉得都是存在的,只要选定一个顶点作为起始点,不断按逆时针方向以半径r作圆与椭圆相交,交点作为新的圆心,继续作圆,当r很小时作完n次后终点必定不能达到起始点,不能构成n边形,当r很大时作完n次后终点必定越过起始点,根据连续性,存在一个r使得作完n次后恰好终点与起始点重合。
15楼2017-04-10 13:00:48
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Mr__Right

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15楼: Originally posted by alober at 2017-04-10 13:00:48
我觉得都是存在的,只要选定一个顶点作为起始点,不断按逆时针方向以半径r作圆与椭圆相交,交点作为新的圆心,继续作圆,当r很小时作完n次后终点必定不能达到起始点,不能构成n边形,当r很大时作完n次后终点必定越 ...

对圆来说,正多边形,内接,变数越多,则边长越小。

椭圆,内接等边 凸多边形,是否有类似的性质??
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16楼2017-04-10 21:11:39
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alober

木虫 (著名写手)

★ ★
Edstrayer: 金币+2 2017-04-11 02:17:29
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16楼: Originally posted by Mr__Right at 2017-04-10 21:11:39
对圆来说,正多边形,内接,变数越多,则边长越小。

椭圆,内接等边 凸多边形,是否有类似的性质??...

不知道这里的变数越多是不是指边数,如果是,那没有。考察椭圆和内接正三角形三顶点和内接正四边形四顶点,正四边形边长正三角形边长。
17楼2017-04-10 22:39:43
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Mr__Right

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17楼: Originally posted by alober at 2017-04-10 22:39:43
不知道这里的变数越多是不是指边数,如果是,那没有。考察椭圆\frac{x^2}{9}+4y^2=1和内接正三角形三顶点(3,0),(\frac{33}{13},\pm\frac{2\sqrt{3}}{13})和内接正四边形四顶点(\pm\frac{3}{\sqrt{37}},\pm\frac{3} ...

如果边长和边数之间的关系不单调,之前提到的调整圆的半径的作图方法就不太现实可行。

此外,原始问题要求过长短轴的四个端点(我后来刚刚注意到)。

所以,“存在性”看上去挺难,作图、代数表示可能都在“存在性”里面自然包含着
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18楼2017-04-11 06:32:28
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alober

木虫 (著名写手)

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18楼: Originally posted by Mr__Right at 2017-04-11 06:32:28
如果边长和边数之间的关系不单调,之前提到的调整圆的半径的作图方法就不太现实可行。

此外,原始问题要求过长短轴的四个端点(我后来刚刚注意到)。

所以,“存在性”看上去挺难,作图、代数表示可能都在“ ...

如果不过长短轴的四个端点,存在性是一定的,这和是否单调无关。设起点的坐标给定,就是定值了,于是第一次作圆时和椭圆的交点必定是圆半径r的函数,将交点选作新的圆心,半径仍是r,第二次作圆时与椭圆的交点还是r的函数,依此继续操作,最终的终点也是r的函数,只要求此函数连续而不要求单调。圆与椭圆至多有四个交点,只有在作正三角形时,由于三角形的稳定性,四个交点中必须选择唯一可行的一个,其它的不少于四边形时,都可以随意选择四个交点中的任意一个。
19楼2017-04-11 08:37:56
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alober

木虫 (著名写手)

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18楼: Originally posted by Mr__Right at 2017-04-11 06:32:28
如果边长和边数之间的关系不单调,之前提到的调整圆的半径的作图方法就不太现实可行。

此外,原始问题要求过长短轴的四个端点(我后来刚刚注意到)。

所以,“存在性”看上去挺难,作图、代数表示可能都在“ ...

如果图形过椭圆的四个顶点,将椭圆标准方程放进直角坐标系,假设过四顶点的等边图形存在第一二象限不对称的情况,不妨设第一象限的边比第二象限的边少。考察第一二象限的图,假设第一象限有n条边,n条椭圆弧段,因为不对称,第二象限至少有n+1条边,即至少有n+1条椭圆弧段。把第二象限镜像到第一象限,由鸟窝原理,必有镜像后的一段椭圆弧段落在原第一象限中的n条椭圆弧段中,设这个镜像弧段的端点是,原一象限弧段的端点是,则由一象限y是x的减函数有,于是由距离公式知,与等边矛盾,所以一二象限必须对称。同理所有四个象限必须全对称,因此等边n边形里n必然是4的倍数。第一象限作图时仍可按调整法作出,然后对称就行了。
20楼2017-04-11 17:08:00
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