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david.x

新虫 (初入文坛)

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[求助] 椭圆内接等边多边形的约束方程已有1人参与

椭圆内接等边多边形，不是正多边形，额外约束是过长短轴端点，这样的等边多边形的顶点如何表示？

椭圆.PNG

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1楼 2017-04-08 18:41:52

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alober

木虫 (著名写手)

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引用回帖:

18楼: Originally posted by Mr__Right at 2017-04-11 06:32:28
如果边长和边数之间的关系不单调，之前提到的调整圆的半径的作图方法就不太现实可行。

此外，原始问题要求过长短轴的四个端点（我后来刚刚注意到）。

所以，“存在性”看上去挺难，作图、代数表示可能都在“ ...

如果图形过椭圆的四个顶点，将椭圆标准方程放进直角坐标系，假设过四顶点的等边图形存在第一二象限不对称的情况，不妨设第一象限的边比第二象限的边少。考察第一二象限的图，假设第一象限有n条边，n条椭圆弧段，因为不对称，第二象限至少有n+1条边，即至少有n+1条椭圆弧段。把第二象限镜像到第一象限，由鸟窝原理，必有镜像后的一段椭圆弧段落在原第一象限中的n条椭圆弧段中，设这个镜像弧段的端点是 $A_1A_2$ ，原一象限弧段的端点是 $B_1B_2$ ，则由一象限y是x的减函数有 $B_{1x}<A_{1x}<A_{2x}<B_{2x}, B_{1y}>A_{1y}>A_{2y}>B_{2y}$ ，于是由距离公式知 $B_1B_2>A_1A_2$ ，与等边矛盾，所以一二象限必须对称。同理所有四个象限必须全对称，因此等边n边形里n必然是4的倍数。第一象限作图时仍可按调整法作出，然后对称就行了。