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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 椭圆 内接 等边 多边形 的约束方程
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david.x

新虫 (初入文坛)

[求助] 椭圆 内接 等边 多边形 的约束方程 已有1人参与

椭圆 内接 等边 多边形，不是正多边形，额外约束是过长短轴端点，这样的等边多边形的顶点如何表示？


椭圆 内接 等边 多边形 的约束方程
椭圆.PNG
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1楼 2017-04-08 18:41:52
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

alober

木虫 (著名写手)
引用回帖:
18楼: Originally posted by Mr__Right at 2017-04-11 06:32:28
如果边长和边数之间的关系不单调，之前提到的调整圆的半径的作图方法就不太现实可行。

此外，原始问题要求过长短轴的四个端点（我后来刚刚注意到）。

所以，“存在性”看上去挺难，作图、代数表示可能都在“ ...

如果不过长短轴的四个端点，存在性是一定的，这和是否单调无关。设起点的坐标给定，就是定值了，于是第一次作圆时和椭圆的交点必定是圆半径r的函数，将交点选作新的圆心，半径仍是r，第二次作圆时与椭圆的交点还是r的函数，依此继续操作，最终的终点也是r的函数，只要求此函数连续而不要求单调。圆与椭圆至多有四个交点，只有在作正三角形时，由于三角形的稳定性，四个交点中必须选择唯一可行的一个，其它的不少于四边形时，都可以随意选择四个交点中的任意一个。
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19楼2017-04-11 08:37:56
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alober

木虫 (著名写手)
引用回帖:
18楼: Originally posted by Mr__Right at 2017-04-11 06:32:28
如果边长和边数之间的关系不单调，之前提到的调整圆的半径的作图方法就不太现实可行。

此外，原始问题要求过长短轴的四个端点（我后来刚刚注意到）。

所以，“存在性”看上去挺难，作图、代数表示可能都在“ ...

如果图形过椭圆的四个顶点，将椭圆标准方程放进直角坐标系，假设过四顶点的等边图形存在第一二象限不对称的情况，不妨设第一象限的边比第二象限的边少。考察第一二象限的图，假设第一象限有n条边，n条椭圆弧段，因为不对称，第二象限至少有n+1条边，即至少有n+1条椭圆弧段。把第二象限镜像到第一象限，由鸟窝原理，必有镜像后的一段椭圆弧段落在原第一象限中的n条椭圆弧段中，设这个镜像弧段的端点是，原一象限弧段的端点是，则由一象限y是x的减函数有，于是由距离公式知，与等边矛盾，所以一二象限必须对称。同理所有四个象限必须全对称，因此等边n边形里n必然是4的倍数。第一象限作图时仍可按调整法作出，然后对称就行了。
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20楼2017-04-11 17:08:00
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Mr__Right

专家顾问 (著名写手)
★ ★
Edstrayer: 金币+2 2017-04-11 02:16:58
引用回帖:
11楼: Originally posted by peterflyer at 2017-04-09 09:01:12
首先可以确定，这样的等边多边形只可能是4、8、12......等边数为4的整数倍的等边多边形。其次，根据事先确定的边的数量，确定需要求出几个椭圆上的顶点。比如求等边八边形时，以第一象限为例，设点P(x,y)为所求椭圆 ...

这里有个五边形的例子
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» 本帖已获得的红花（最新10朵）

david.x
文章乃身外之物,要多考虑编辑、审稿人和读者的感受。
12楼2017-04-10 12:46:51
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alober

木虫 (著名写手)
★
Edstrayer: 金币+1 2017-04-11 02:17:16
引用回帖:
13楼: Originally posted by peterflyer at 2017-04-10 12:51:04
那么6、7、9、10、11、15......这些中哪些可以，那些不可以，有无判定方法？...

我觉得都是存在的，只要选定一个顶点作为起始点，不断按逆时针方向以半径r作圆与椭圆相交，交点作为新的圆心，继续作圆，当r很小时作完n次后终点必定不能达到起始点，不能构成n边形，当r很大时作完n次后终点必定越过起始点，根据连续性，存在一个r使得作完n次后恰好终点与起始点重合。
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15楼2017-04-10 13:00:48
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普通回帖

cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็
★
Edstrayer: 金币+1 2017-04-11 02:16:24
先要证明存在性，然后谈如何表示
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
2楼2017-04-08 18:57:15
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david.x

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by cooooldog at 2017-04-08 18:57:15
先要证明存在性，然后谈如何表示

四个轴点就是等边四边形
这个问题还要证明存在性？

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3楼2017-04-08 19:50:15
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Klaixiya

新虫 (小有名气)
设顶点表示为 {a Cos[x] , b Sin[x]} ， 由于相邻端点的距离都相等，可以建立方程组求解
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4楼2017-04-08 20:33:05
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Grape
好

发自小木虫IOS客户端
5楼2017-04-08 21:09:38
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Mr__Right

专家顾问 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by david.x at 2017-04-08 19:50:15
四个轴点就是等边四边形
这个问题还要证明存在性？
...

这样的问题楼主还要来问？
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文章乃身外之物,要多考虑编辑、审稿人和读者的感受。
6楼2017-04-08 21:34:49
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david.x

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
6楼: Originally posted by Mr__Right at 2017-04-08 21:34:49
这样的问题楼主还要来问？ ...

给我的数学老师丢脸了。
真心不知道该怎么表达出来。
其实是，我猜是有这种等边多边形存在的，可是我有不会证明存在性，更不会写出约束方程组。
所以，还望不吝赐教。

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7楼2017-04-08 22:32:27
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david.x

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by Klaixiya at 2017-04-08 20:33:05
设顶点表示为 {a Cos , b Sin} ， 由于相邻端点的距离都相等，可以建立方程组求解

比如图示，不含长短轴端点在第一像限有三点这种情况。方程组该是什么样子的？

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8楼2017-04-08 22:35:41
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david.x

新虫 (初入文坛)
更进一步，有n个点的一半方程组该怎么写。

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9楼2017-04-08 22:37:43
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david.x

新虫 (初入文坛)
一般方程组

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10楼2017-04-08 22:38:09
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