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[交流] A*A = B,如何计算A? 已有4人参与

请问：
A,B 为正定对称矩阵，如题，B已知。如何得到A？即：如何进行矩阵B的开方计算？与特特征值有什么关系？

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1楼 2015-11-20 08:37:27

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B = T^(-1)*D*T =T^(-1)*[l1,l2,...,ln]*T 为正交分解
因为B正定，所以l1,l2,...,ln>0
从而A=T^(-1)*√D*T，其中
√D =[√l1,√l2,...,√ln]

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板凳要做十年冷文章不发一个字

2楼2015-11-20 08:45:42

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Edstrayer

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http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=9453213&pid=4#pid4
见4楼的解答

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2015-11-20 08:47:20

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A*A = B
由于A是正定矩阵，故必然有逆A^(-1)存在。
上式两边共同左乘或右乘一个A的逆A^(-1),则得：
A=A^(-1)*B=B*A^(-1) 。

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4楼2015-11-20 09:07:07

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不太严谨的说明一下
利用对称正定阵的性质：特征值全部为正实数，特征向量正交。将A进行特征值对角化，A = SΛS^(-1)=SΛS’，其中S为正交特征向量阵，SS'=I. A^2 = SΛ^2S’=B，然后求B的特征值（等于Λ^2）及标准正交特征向量矩阵S，进而求出A。

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知其然，知其所以然。

5楼2015-11-20 16:28:36

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4楼: Originally posted by peterflyer at 2015-11-20 09:07:07
A*A = B
由于A是正定矩阵，故必然有逆A^(-1)存在。
上式两边共同左乘或右乘一个A的逆A^(-1),则得：
A=A^(-1)*B=B*A^(-1) 。

A 未知，A逆矩阵未知。

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6楼2015-11-21 17:32:15

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6楼: Originally posted by rock.li at 2015-11-21 17:32:15
A 未知，A逆矩阵未知。...

A虽未知，但应该可以用A的元素表达出A的逆(A的伴随矩阵除以A的行列式值），然后列方程求解各元素。

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7楼2015-11-21 18:28:44

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5楼: Originally posted by mygt_hit at 2015-11-20 16:28:36
不太严谨的说明一下
利用对称正定阵的性质：特征值全部为正实数，特征向量正交。将A进行特征值对角化，A = SΛS^(-1)=SΛS’，其中S为正交特征向量阵，SS'=I. A^2 = SΛ^2S’=B，然后求B的特征值（等于Λ^2）及标准 ...

能否给出详细的说明，mygt hit,或者链接。

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8楼2015-11-23 09:43:00

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7楼: Originally posted by peterflyer at 2015-11-21 18:28:44
A虽未知，但应该可以用A的元素表达出A的逆(A的伴随矩阵除以A的行列式值），然后列方程求解各元素。...

peterflyer：能否给出具体步骤求解出A？

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9楼2015-11-23 09:43:50

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8楼: Originally posted by rock.li at 2015-11-23 09:43:00
能否给出详细的说明，mygt hit,或者链接。...

这个没有链接啊，就是概念上的推导。具体操作和2楼一样，求B的特征值和正交特征向量，然后将B的特征值开方作为A的特征值，二者特征向量相同。

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知其然，知其所以然。

10楼2015-11-23 10:00:27

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