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sololee2010

木虫 (正式写手)


[交流] 虫友问的一个关于压缩感知问题的解答:如何将Y=A*S等价变形为Y(:)=B*S(:)

.............貌似在有些应用场合中会碰到如下的数学模型:
                                               Y = A*S ,                  (1)
其中Y, A, S均为矩阵。提出的问题是:已知矩阵Y和矩阵A,求解矩阵S,且已知S是一个稀疏矩阵。
       一看到稀疏,可能马上有人想起是不是可以利用压缩感知CS重构算法寻找稀疏矩阵S呢?但是又发现不对,CS的数学模型和(1)式不一样, CS的数学模型是:
                                               y = Phi * x,                 (2)
其中y和x是列向量,Phi是矩阵。如何能够将(1)式等价变形为(2)式,按照我的理解,就是这位虫友提出的问题。
        实际上,当然是可以的,只是个简单的线性代数的基本问题,以2维矩阵为例,我们看下如何变形,见附件的例图(图片上传不了,没办法,只能以附件的形式了)。这样就可以找到Y=A*S的等价变形:
                                                                                   Y(: ) = B * S(: ),            (3)
当然S(: )是稀疏的,那么就有可能利用CS重构算法求解S,但需要满足的条件就是B具有受限等距性(RIP)。
        如果这位虫友遇到的是低维(代数维)问题,就是S(: )的长度比较短,那么矩阵B就可以在计算机直接构造出来,但是对于高维问题,B是无法构造的,那么实际就应该找到(3)式的等价算子,即输入是S(: ),输出是Y(: )的函数。目前大多数流行的CS重构算法都是支持算子的,如果不支持算法的CS重构算法实际上就不是成熟的算法,因为该算法无法处理高维信号(如图像信号)。
        保证CS重构算法收敛的条件是B满足RIP性,那么接下来的任务就是去数学证明B是否满足RIP,这个像我这种工程出身的虫子,就非常难了。可以先随便弄个什么CS算法测试一下,看看可不可以有效复原S(: ),如果效果很好,就应该可以证明方法是可行的,再来思考B的RIP性,一旦可以用数学证明出来,那么这应该就是个不错的Idear了。[ Last edited by sololee2010 on 2013-5-31 at 11:15 ]
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三木_1987

金虫 (初入文坛)



小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
去年 我试过 仿真可以得到合理可解释的结果  但是没去证明

[ Last edited by 三木_1987 on 2013-5-31 at 21:44 ]
2楼2013-05-31 21:41:48
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taoyu9528

金虫 (小有名气)



小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
实际上做多维信号的稀疏表示的时候,用到就是类似的思想吧。
4楼2013-06-03 18:49:48
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2013-05-31 22:58   回复  
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