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sololee2010

木虫 (正式写手)

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虫号: 1612306

[交流] 虫友问的一个关于压缩感知问题的解答：如何将Y=AS等价变形为Y(:)=BS(:)

.............貌似在有些应用场合中会碰到如下的数学模型：
                                             Y = A*S ,                (1)
其中Y, A, S均为矩阵。提出的问题是：已知矩阵Y和矩阵A，求解矩阵S，且已知S是一个稀疏矩阵。
   一看到稀疏，可能马上有人想起是不是可以利用压缩感知CS重构算法寻找稀疏矩阵S呢？但是又发现不对，CS的数学模型和(1)式不一样, CS的数学模型是：
                                             y = Phi * x,                (2)
其中y和x是列向量，Phi是矩阵。如何能够将(1)式等价变形为(2)式，按照我的理解，就是这位虫友提出的问题。
      实际上，当然是可以的，只是个简单的线性代数的基本问题，以2维矩阵为例，我们看下如何变形，见附件的例图（图片上传不了，没办法，只能以附件的形式了）。这样就可以找到Y=A*S的等价变形:
                                                                                 Y(: ) = B * S(: ),          (3)
当然S(: )是稀疏的，那么就有可能利用CS重构算法求解S，但需要满足的条件就是B具有受限等距性(RIP)。
      如果这位虫友遇到的是低维(代数维)问题，就是S(: )的长度比较短，那么矩阵B就可以在计算机直接构造出来，但是对于高维问题，B是无法构造的，那么实际就应该找到(3)式的等价算子，即输入是S(: )，输出是Y(: )的函数。目前大多数流行的CS重构算法都是支持算子的，如果不支持算法的CS重构算法实际上就不是成熟的算法，因为该算法无法处理高维信号(如图像信号)。
      保证CS重构算法收敛的条件是B满足RIP性，那么接下来的任务就是去数学证明B是否满足RIP，这个像我这种工程出身的虫子，就非常难了。可以先随便弄个什么CS算法测试一下，看看可不可以有效复原S(: )，如果效果很好，就应该可以证明方法是可行的，再来思考B的RIP性，一旦可以用数学证明出来，那么这应该就是个不错的Idear了。[ Last edited by sololee2010 on 2013-5-31 at 11:15 ]

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