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hylpy

专家顾问 (知名作家)

[交流] 试求数列极限,散金

证明：数列 $\sqrt{7},\sqrt{7-\sqrt{7}},\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7}}},\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7}}}},\cdot \cdot \cdot$ 收敛，并求其极限。

要求答题采用LATEX文本。非LATEX文本，无效。

[ Last edited by hylpy on 2015-11-19 at 08:30 ]

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1楼 2015-11-14 22:23:44

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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

hylpy

专家顾问 (知名作家)

2楼解答:

$\because 0<a_{1}<7,0<a_{2}<7$

$\because a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{n}}}$

$\therefore 0<a_{2n}<7,0<a_{2n+1}<7$

$\therefore 0<a_{n}<7$

$\therefore \{a_{n}\} is\quad bounded$

$\because a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{n}}}$

$\therefore a_{4n+i}-a_{4(n-1)+i}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{4n+i-2}}}-\sqrt{7-\sqrt{7+a_{4(n-1)+i-2}}}=\frac{\sqrt{7+a_{4(n-1)+i-2}}-\sqrt{7+a_{4n+i-2}}}{a_{4n+i}+a_{4(n-1)+i}},i=0,1,2,3$

$\therefore a_{4n+i}-a_{4(n-1)+i}=k(a_{4(n-1)+i}-a_{4(n-2)+i}),k>0;i=0,1,2,3$

$\therefore \{a_{4n+i}\} is\quad monotone\quad decreasing.(i=0,1,2,3)$

$\therefore \{a_{4n+i}\} is\quad Convergent\quad sequence.(i=0,1,2,3)$

$Suppose\quad \lim_{n\rightarrow\infty} a_{4n+i}=A$

$\because a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{n}}}$

$\therefore A=\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7+A}}}}$

$\therefore A=-3,2,\frac{1\pm\sqrt{29}}{2} ......$

$\because 0\leq a_{n}\leq\sqrt{7}$

$\therefore 0\leq A\leq\sqrt{7}$

$\therefore A=2$

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11楼2015-11-15 19:02:44

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普通回帖

0404600213

金虫 (正式写手)

应助: 56 (初中生)
金币: 725.5
帖子: 992
在线: 295.6小时
虫号: 2224916

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
hylpy: 金币+2, 如果重新编一下，就更好了 2015-11-15 19:15:57
Edstrayer: 金币+5, Latex源文件编译通过，但不符合小木虫论坛的格式，鼓励一下 2015-11-16 17:25:39

我在LATEX里面编辑的，所以只有代码
要睡觉了，所以格式也没改，见谅
其实思路就是用单调有界数列必有极限这个准则
GOOD NIGHT

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\par{$$\because 0<a_{1}<7,0<a_{2}<7$$}
\par{$$\because a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{n}}}$$}
\par{$$\therefore 0<a_{2n+1}<7,0<a_{2n+1}<7$$}
\par{$$\therefore 0<a_{n}<7$$}
\par{$$\therefore \{a_{n}\} is\quad bounded.$$}
\par{quad}
\par{$$\because a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{n}}}$$}
\par{$$\therefore a_{4n+i}-a_{4(n-1)+i}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{4n+i-2}}}-\sqrt{7-\sqrt{7+a_{4(n-1)+i-2}}}=\frac{\sqrt{7+a_{4(n-1)+i-2}}-\sqrt{7+a_{4n+i-2}}}{a_{4n+i}+a_{4(n-1)+i}},i=0,1,2,3$$}
\par{$$\therefore a_{4n+i}-a_{4(n-1)+i}=k(a_{4(n-1)+i}-a_{4(n-2)+i}),k>0;i=0,1,2,3$$}
\par{$$\therefore \{a_{4n+i}\} is\quad monotone\quad decreasing.(i=0,1,2,3)$$}
\par{$$\therefore \{a_{4n+i}\} is\quad Convergent\quad sequence.(i=0,1,2,3)$$}
\par{\quad}
\par{$$Suppose\quad \lim_{n\rightarrow\infty} a_{4n+i}=A$$}
\par{$$\because a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{n}}}$$}
\par{$$\therefore A=\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7+A}}}}$$}
\par{$$\therefore A=-3,2,\frac{1\pm\sqrt{29}}{2} ......$$}
\par{$$\because 0\leq a_{n}\leq\sqrt{7}$$}
\par{$$\therefore 0\leq A\leq\sqrt{7}$$}
\par{$$\therefore A=2$$}
\par{.....}
\end{document}

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2楼2015-11-14 23:42:01

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0404600213

金虫 (正式写手)

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★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

引用回帖:

2楼: Originally posted by 0404600213 at 2015-11-14 23:42:01
我在LATEX里面编辑的，所以只有代码
要睡觉了，所以格式也没改，见谅
其实思路就是用单调有界数列必有极限这个准则
GOOD NIGHT

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\be ...

这个证明是错的，中间单调性的分子有理化多了个负号

正确的思路应该是:按下标除以4的余数将原数列分成四个数列，然后可以用上面的方法证明这四个数列的极限都是2，就能得出这个数列的极限是2

PS:我在上面的代码中做了修改，但是16次方程太麻烦了，留待有心人
[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

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3楼2015-11-15 00:41:42

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Edstrayer

版主 (著名写手)

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

占楼，个坑
http://www.math.org.cn/forum.php ... tra=&page=1
14楼的解法

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5楼2015-11-15 02:03:52

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shabaolin

铜虫 (著名写手)

应助: 4 (幼儿园)
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★
hylpy: 金币+1 2015-11-15 19:17:13

可以把7改成a

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6楼2015-11-15 04:18:56

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shabaolin

铜虫 (著名写手)

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虫号: 868907

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

引用回帖:

3楼: Originally posted by 0404600213 at 2015-11-15 00:41:42
这个证明是错的，中间单调性的分子有理化多了个负号

正确的思路应该是:按下标除以4的余数将原数列分成四个数列，然后可以用上面的方法证明这四个数列的极限都是2，就能得出这个数列的极限是2

...

是的，这个数列先要找到周期，再进行常规的证明

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7楼2015-11-15 09:16:15

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