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[交流] 试求数列极限,散金

证明:数列 收敛,并求其极限。





要求答题采用LATEX文本。非LATEX文本,无效。

[ Last edited by hylpy on 2015-11-19 at 08:30 ]
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0404600213

金虫 (正式写手)


★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
hylpy: 金币+2 2015-11-15 19:17:29
引用回帖:
5楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-11-15 02:03:52
占楼,个坑
http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=28175&extra=&page=1
14楼的解法

14楼是在证明了收敛的前提下才可以用
8楼2015-11-15 09:54:56
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0404600213

金虫 (正式写手)


★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
hylpy: 金币+2, 如果重新编一下,就更好了 2015-11-15 19:15:57
Edstrayer: 金币+5, Latex源文件编译通过,但不符合小木虫论坛的格式,鼓励一下 2015-11-16 17:25:39
我在LATEX里面编辑的,所以只有代码
要睡觉了,所以格式也没改,见谅
其实思路就是用单调有界数列必有极限这个准则
GOOD NIGHT


\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\par{$$\because 0<a_{1}<7,0<a_{2}<7$$}
\par{$$\because a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{n}}}$$}
\par{$$\therefore 0<a_{2n+1}<7,0<a_{2n+1}<7$$}
\par{$$\therefore 0<a_{n}<7$$}
\par{$$\therefore \{a_{n}\} is\quad bounded.$$}
\par{quad}
\par{$$\because a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{n}}}$$}
\par{$$\therefore a_{4n+i}-a_{4(n-1)+i}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{4n+i-2}}}-\sqrt{7-\sqrt{7+a_{4(n-1)+i-2}}}=\frac{\sqrt{7+a_{4(n-1)+i-2}}-\sqrt{7+a_{4n+i-2}}}{a_{4n+i}+a_{4(n-1)+i}},i=0,1,2,3$$}
\par{$$\therefore a_{4n+i}-a_{4(n-1)+i}=k(a_{4(n-1)+i}-a_{4(n-2)+i}),k>0;i=0,1,2,3$$}
\par{$$\therefore \{a_{4n+i}\} is\quad monotone\quad decreasing.(i=0,1,2,3)$$}
\par{$$\therefore \{a_{4n+i}\} is\quad Convergent\quad sequence.(i=0,1,2,3)$$}
\par{\quad}
\par{$$Suppose\quad \lim_{n\rightarrow\infty} a_{4n+i}=A$$}
\par{$$\because a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{n}}}$$}
\par{$$\therefore A=\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7+A}}}}$$}
\par{$$\therefore A=-3,2,\frac{1\pm\sqrt{29}}{2} ......$$}
\par{$$\because 0\leq a_{n}\leq\sqrt{7}$$}
\par{$$\therefore 0\leq A\leq\sqrt{7}$$}
\par{$$\therefore A=2$$}
\par{.....}
\end{document}
2楼2015-11-14 23:42:01
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0404600213

金虫 (正式写手)



小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
引用回帖:
2楼: Originally posted by 0404600213 at 2015-11-14 23:42:01
我在LATEX里面编辑的,所以只有代码
要睡觉了,所以格式也没改,见谅
其实思路就是用单调有界数列必有极限这个准则
GOOD NIGHT


\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\be ...

这个证明是错的,中间单调性的分子有理化多了个负号

正确的思路应该是:按下标除以4的余数将原数列分成四个数列,然后可以用上面的方法证明这四个数列的极限都是2,就能得出这个数列的极限是2

PS:我在上面的代码中做了修改,但是16次方程太麻烦了,留待有心人
[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
3楼2015-11-15 00:41:42
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小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
占楼,个坑
http://www.math.org.cn/forum.php ... tra=&page=1
14楼的解法
5楼2015-11-15 02:03:52
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