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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一道求极限的题目
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tclzxb

木虫 (小有名气)

[求助] 一道求极限的题目 已有2人参与

(1+1/3)(1+1/3^3)(1+1/3^5)...(1+1/3^(2n-1)), 当n趋于无穷时的极限是多少？
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1楼 2014-10-24 20:28:20
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
tclzxb(feixiaolin代发): 金币+4 2014-10-25 16:10:04
具体数值不会算，但可以确定的是，极限是存在的，并且大于1，小于e^(3/8).
大于1是很容易理解的。但为何小于e^(3/8)呢？
令y=(1+1/3)(1+1/3^3)(1+1/3^5)......(1+1/3^(2n-1))*...... ,
Lny=SUM{Ln[1+1/3^(2*n-1)],n=1~∞}
      <SUM{1/3^(2*n-1)],n=1~∞}
        =1/3/[1-1/9]=3/8
所以：y<e^(3/8)
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2楼2014-10-24 20:42:47
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
feixiaolin: 金币+2 2014-10-25 16:10:13
设


则


注意到：


所以单调递增且有上界，故，从而收敛。
注：[\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=?[/latex]的精确值求不出，不过可以用matlab等编程计算其近似值。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2014-10-25 04:03:44
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tclzxb

木虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-10-25 04:03:44
设
x_n=(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3^3})\cdots(1+\frac{1}{3^{2n-1}})=\prod\limits_{k=1}^n(1+\frac{1}{3^{2k-1}})
则
\ln x_n=\sum\limits_{k=1}^n\ln(1+\frac{1}{3^{2k-1}})
注意到：
0<\ln(1+\frac{1 ...

您是说这个极限没法求？只能像\pai或者e那样给个名字吗？
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4楼2014-10-25 14:48:55
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
4楼: Originally posted by tclzxb at 2014-10-25 14:48:55
您是说这个极限没法求？只能像\pai或者e那样给个名字吗？...

可以用一个符号记述这个极限，例如：设


但是这个是否会像和e那样应用广泛却是未知的，至少现在它的应用不清楚。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
5楼2014-10-25 16:02:19
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
4楼: Originally posted by tclzxb at 2014-10-25 14:48:55
您是说这个极限没法求？只能像\pai或者e那样给个名字吗？...

近似值 1.38912048
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6楼2014-10-25 16:11:33
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