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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 应用数学与力学 » 请问下列方程的卷积积分，该如何求？
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冷冰hh

木虫 (正式写手)

[求助] 请问下列方程的卷积积分，该如何求？已有2人参与

如附件所示

可以采用什么方法积分出来呢？

请教数学系的各位前辈
谢谢！

请问下列方程的卷积积分，该如何求？
18.jpg
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1楼2014-10-18 12:11:04
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冷冰hh

木虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-10-19 09:57:00
如果\varepsilon_f(x)=\sum\limits_{i=0}^nx^i是一个n次多项式的话，可以用分部积分的技巧将卷积积出来：
\sin x*\varepsilon_f(x)=\int_0^x\varepsilon_f(\tau)\sin(x-\tau)d\tau=?
这只要建立下面积分的递推关系 ...

谢谢楼主给出的建议算法，不好意思，我这里的问题没描述完，其实，希望卷积积分的积分结果是包含要εf(x)项的
最终我想得到的，如附件图片所示
请问下列方程的卷积积分，该如何求？-1
19.jpg
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10楼2014-10-19 11:26:33
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
ε(x)是阶跃函数step function的话，f(x)*ε(x)= f^(-1)(x)，即f(x)的积分
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2楼2014-10-18 14:10:48
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mathstudy

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
借助于 积分变换来做吧，试试Laplace变换 把卷积变成两个像函数的乘积....
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3楼2014-10-18 17:19:57
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
冷冰hh: 金币+10, ★★★很有帮助, 很感谢你的帮助，想得到卷积表述成关于εf(x)的函数 2014-10-18 18:11:23
将积分号里的三角函数展开，得到：
Sinx*εf(x)=Sinx*Integral{εf(τ)*Cosτ*dτ,0,x}-Cosx*Integral{εf(τ)*Sinτ*dτ,0,x}
将上式连求两阶导数，并将上式带入导求导后的式子中，得到：
y''(x)+2/tgx*y'(x)-1/Sinx*y=0
这是个二阶非线性常微分方程。若能求解它，就得到原方程的解了。不过我不会解，只能帮楼主到这儿了。
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4楼2014-10-18 17:36:03
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