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lixuemei201

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[交流] AT=TA，A的特点证明已有2人参与

矩阵AT=TA，A.T 都为n阶方阵，且T为非奇异阵，证明A=a11E。 a11为A的第一行第一个元素

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

[ Last edited by lixuemei201 on 2014-10-16 at 07:16 ]

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1楼2014-10-15 19:10:51

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Pchief

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lixuemei201: 金币+5 2014-10-16 18:45:14

题设条件应该理解为对任意可逆矩阵 T 都成立，而不仅仅是对某个特定的 T。不然，如果是特定的 T，那么 A=T 就满足条件，而 A 未必为纯量阵。

既然对任意可逆的 T 成立，我们可以让 T 取遍所有的初等矩阵。譬如设 a 是一个既不为零，又不等于 1 的数。让 T 等于一个对角阵，第 j 个对角元为 a ，其余对角元等于 1。这个 T 乘在 A 的右边等于把 A 的第 j 列乘以 a，而乘在 A 的左边等于把 A 的第 j 行乘以 a。既然这两者效果一样，自然推出 A 的第 j 行和第 j 列，除了主对角元以外全为零。以此类推，便得出 A 是对角矩阵。

同理，把 T 取成单位阵 E 置换第 i,j 行所得矩阵，就推出置换 A 的第 i,j 行与置换 A 的第 i,j 列，效果应该一样。这样，A 的第 i 个对角元自然应该等于第 j 个对角元，由此 A 的所有对角元应该都相等，从而 A 是纯量矩阵。