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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 矩阵指数的特征值求法
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zjc1987

金虫 (著名写手)

[求助] 矩阵指数的特征值求法

exp（A）的特征值怎么求呢？其中A为一个实数的方阵，如果A可以对角化很好求，如果不能对角化呢？急求！谢谢各位！
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zjc1987

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justdoit
1楼2013-04-23 10:25:23
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
zjc1987: 金币+2 2013-04-24 22:19:18
先求A的特征值r，则exp(A)的特征值就是exp(r)
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2楼2013-04-24 21:21:05
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zjc1987

金虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by math2000 at 2013-04-24 21:21:05
先求A的特征值r，则exp(A)的特征值就是exp(r)

如果A可以对角化这样做应该是正确的，但是不能对角化时这样还行吗？
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justdoit
3楼2013-04-24 22:19:09
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
如果只是计算，直接用软件算，很方便；
如果要做理论推导，exp（A）按照exp(x)的幂级数展开，然后把x替换成A就行了
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板凳要做十年冷文章不发一个字
4楼2013-04-25 11:05:04
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
引用回帖:
3楼: Originally posted by zjc1987 at 2013-04-24 22:19:09
如果A可以对角化这样做应该是正确的，但是不能对角化时这样还行吗？...

-- 结论对一般矩阵也成立。证明思路：
设 a 是A 的特征值，则 |aI-A|=0
设A的Jordan标准型为J ，即存在可逆矩阵P，使得A = PJP^(-1)
则 f(A) = Pf(J)P^(-1)
所以 |f(a)I - Pf(J)P^(-1) |=|f（a）I - f（J）| = 0
即f(a)也是f(A)的特征值
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5楼2013-04-25 19:12:33
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zjc1987

金虫 (著名写手)
送红花一朵
6楼2013-04-25 20:51:03
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yangrui123

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

如果A可以对角化则A是满秩的，反之则有相应的若尔当标准型与之对应，这是在特征向量不够的情况下引入根向量而得。这个问题高代数有，你可以翻阅一下，如果还有问题，我们可以交流一下。
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乐观，自信，爱是我的生活态度，也希望以此能都影响大家
7楼2013-05-09 15:45:33
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