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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » AT=TA，A的特点证明
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lixuemei201

新虫 (小有名气)

[交流] AT=TA，A的特点证明已有2人参与

矩阵AT=TA，A.T 都为n阶方阵，且T为非奇异阵，证明A=a11E。 a11为A的第一行第一个元素

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

[ Last edited by lixuemei201 on 2014-10-16 at 07:16 ]
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1楼2014-10-15 19:10:51
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国内第一学渣

金虫 (著名写手)
这是考研题吧…

[ 发自小木虫客户端 ]
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2楼2014-10-15 20:17:59
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国内第一学渣

金虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
2楼: Originally posted by 国内第一学渣 at 2014-10-15 20:17:59
这是考研题吧…

第一步是同时左乘T转置

[ 发自小木虫客户端 ]
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3楼2014-10-15 20:21:44
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连续统假说i

木虫 (正式写手)
同意转置

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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数学与吾等同在！
4楼2014-10-16 01:25:47
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lixuemei201

新虫 (小有名气)
怎么证明。。。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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5楼2014-10-16 10:55:07
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
lixuemei201: 金币+5 2014-10-16 18:45:14
题设条件应该理解为对任意可逆矩阵 T 都成立，而不仅仅是对某个特定的 T。不然，如果是特定的 T，那么 A=T 就满足条件，而 A 未必为纯量阵。

既然对任意可逆的 T 成立，我们可以让 T 取遍所有的初等矩阵。譬如设 a 是一个既不为零，又不等于 1 的数。让 T 等于一个对角阵，第 j 个对角元为 a ，其余对角元等于 1。这个 T 乘在 A 的右边等于把 A 的第 j 列乘以 a，而乘在 A 的左边等于把 A 的第 j 行乘以 a。既然这两者效果一样，自然推出 A 的第 j 行和第 j 列，除了主对角元以外全为零。以此类推，便得出 A 是对角矩阵。

同理，把 T 取成单位阵 E 置换第 i,j 行所得矩阵，就推出置换 A 的第 i,j 行与置换 A 的第 i,j 列，效果应该一样。这样，A 的第 i 个对角元自然应该等于第 j 个对角元，由此 A 的所有对角元应该都相等，从而 A 是纯量矩阵。
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6楼2014-10-16 18:15:38
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lixuemei201

新虫 (小有名气)
剩下那一步就很简单了，留点思考空间。问题搞定！

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7楼2014-10-16 18:44:59
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lixuemei201

新虫 (小有名气)
之前一直想利用分块矩阵，加解方程的思路去证明，可惜太难了，却没另存寻他路。。提供了思路，矛盾的普遍性与特殊性。。

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8楼2014-10-16 18:58:16
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iamsad

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
这个是群表示论著名的Schur引理，你随便翻一翻群表示论的书，都会找到证明。
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9楼2014-10-18 20:56:14
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xmu_cuit

木虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
北大版高等代数的结论
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10楼2015-01-02 13:10:24
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