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shizheng0124

金虫 (小有名气)

江雨

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[交流] sqrt(z)的解析性问题，z是复数

想请教大家关于f(z)=sqrt(z)解析性的问题，首先是起定义域的问题， ${z^{\frac{1}{2}}} = {e^{\frac{1}{2}\ln z}}$ ，按照这个定义只有在零点没有定义。z不等于0时，其n阶导数为 ${\left( {{z^{\frac{1}{2}}}} \right)^{\left( n \right)}} = {\left( {{e^{\frac{1}{2}\ln z}}} \right)^{\left( n \right)}} = \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2}} \right) \cdots \left( {\frac{1}{2} - n + 1} \right){z^{\frac{1}{2} - n + 1}}$ 。根据书上的定义，那么f(z)除了在0点都是解析的。根据高斯积分定理，下面这个积分应该与半径没有关系，
$\oint\limits_{\left| z \right| = r > 0} {{z^{\frac{1}{2}}}dz} = -\frac{4}{3} {r^{\frac{3}{2}}}$
但是结果却与这个不吻合，不知道问题出在哪里，希望大家帮忙解答下为什么？

我想可能的原因还是这个函数是在除0外还有不解析的点

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1楼 2014-07-29 22:18:25

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pzx1004

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2楼2014-07-29 22:18:52

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peterflyer

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f(z)=sqrt(z)应该在整个复平面具有解析性吧，因此楼主述及的环积分等式不成立吧。

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3楼2014-07-29 23:16:26

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iamsad

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shizheng0124: 金币+10, 感谢 2014-07-30 14:59:24

楼主可能搞错了，这个函数在零点有定义！
问题出在，零点是这个函数的branch point, 通过零点和负无穷大的射线把复平面割开了，在这条射线上\sqrt(z)不连续，更不可能解析。
你的那个积分不是简单的二维积分，不能用高斯积分定理。
详细内容请参考复变函数。

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4楼2014-07-30 12:52:12

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B12050913

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在z＝0处有定义不解析吧，用柯西积分公式做不应该是0么？

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5楼2014-08-01 09:22:48

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feixiaolin

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复函数 sqrt(z) 有两个分支，直接套高斯积分公式有问题

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6楼2014-08-03 07:33:21

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