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shizheng0124

金虫 (小有名气)

江雨

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[交流] sqrt(z)的解析性问题，z是复数

想请教大家关于f(z)=sqrt(z)解析性的问题，首先是起定义域的问题， ${z^{\frac{1}{2}}} = {e^{\frac{1}{2}\ln z}}$ ，按照这个定义只有在零点没有定义。z不等于0时，其n阶导数为 ${\left( {{z^{\frac{1}{2}}}} \right)^{\left( n \right)}} = {\left( {{e^{\frac{1}{2}\ln z}}} \right)^{\left( n \right)}} = \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2}} \right) \cdots \left( {\frac{1}{2} - n + 1} \right){z^{\frac{1}{2} - n + 1}}$ 。根据书上的定义，那么f(z)除了在0点都是解析的。根据高斯积分定理，下面这个积分应该与半径没有关系，
$\oint\limits_{\left| z \right| = r > 0} {{z^{\frac{1}{2}}}dz} = -\frac{4}{3} {r^{\frac{3}{2}}}$
但是结果却与这个不吻合，不知道问题出在哪里，希望大家帮忙解答下为什么？

我想可能的原因还是这个函数是在除0外还有不解析的点

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macau,comeon

1楼2014-07-29 22:18:25

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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

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复函数 sqrt(z) 有两个分支，直接套高斯积分公式有问题

6楼2014-08-03 07:33:21

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