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boy2014

新虫 (小有名气)

[求助] 一道高数题,望高手指点。。。 已有2人参与

就这题。
一道高数题,望高手指点。。。
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feixiaolin

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sum[x^(n^2), {n, 0, inf}]是sum[x^n, {n, 0, inf}]的缺项级数;
在|x|<1时收敛;x=1时发散;
x→1-,即从1的左侧→1时,sum[x^(n^2), {n, 0, inf}]等价于inf,结论成立。

[ Last edited by feixiaolin on 2014-2-10 at 12:54 ]
2楼2014-02-10 12:31:24
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boy2014

新虫 (小有名气)

就是这上面的一道题,
首届中国大学生数学竞赛试卷(2009年,非数学类)

http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=4394003&fpage=1
3楼2014-02-10 12:41:23
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boy2014

新虫 (小有名气)

引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-02-10 12:31:24
sum是sum的缺项级数;
在|x|<1时收敛;x=1时发散;
x→1-,即从1的左侧→1时,sum等价于inf,结论成立。
...

那inf具体是关于x的什么表达形式呢?
4楼2014-02-10 12:57:24
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主

取x=1-eps, 对每一项做一阶近似=1-n^2*eps,累加。
5楼2014-02-10 12:59:46
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer


【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
Sum{x^n^2,0,∞}                         x趋于1-  
=Lim Sum{x^n^2,0,N}                  N趋于无穷、x趋于1-
=Sum{Lim x^n^2,0,N}                  N趋于无穷、x趋于1-
  =Sum{1,0,∞}                              N趋于无穷
   =∞
6楼2014-02-10 21:24:57
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主

引用回帖:
4楼: Originally posted by boy2014 at 2014-02-10 12:57:24
那inf具体是关于x的什么表达形式呢?...

inf  无群大 代号
7楼2014-02-10 22:28:12
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jabile

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
1/(1-x)
<= 1+x+x^2+x^3+....
>=1+x^1+x^4+...+x^{n^2}+x^{2n^2}+x^{3n^3}+......
8楼2014-02-12 16:13:49
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主

9楼2014-02-13 08:41:47
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jabile

木虫 (正式写手)

引用回帖:
8楼: Originally posted by jabile at 2014-02-12 16:13:49
1/(1-x)
<= 1+x+x^2+x^3+....
>=1+x^1+x^4+...+x^{n^2}+x^{2n^2}+x^{3n^3}+......

写错了,后面应该是
>=1+...+x^{(n-1)^2}+x^{n^2}[1+y+y^2+...]
等价于1/(1-y),其中y=x^{(n+1)^2/n^2}
从而1/(1-y)等价于{(n+1)^2/n^2}{1/1-x}
因此原式是和{1/1-x}等价的无穷大
10楼2014-02-13 10:47:28
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