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1楼2014-02-10 12:05:04

feixiaolin

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sum[x^(n^2), {n, 0, inf}]是sum[x^n, {n, 0, inf}]的缺项级数；
在|x|<1时收敛；x=1时发散；
x→1-，即从1的左侧→1时，sum[x^(n^2), {n, 0, inf}]等价于inf，结论成立。

[ Last edited by feixiaolin on 2014-2-10 at 12:54 ]

2楼2014-02-10 12:31:24

boy2014

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就是这上面的一道题，
首届中国大学生数学竞赛试卷(2009年,非数学类）

http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=4394003&fpage=1

3楼2014-02-10 12:41:23

boy2014

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引用回帖:

2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-02-10 12:31:24
sum是sum的缺项级数；
在|x|<1时收敛；x=1时发散；
x→1-，即从1的左侧→1时，sum等价于inf，结论成立。
...

那inf具体是关于x的什么表达形式呢？

4楼2014-02-10 12:57:24

feixiaolin

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取x=1-eps, 对每一项做一阶近似=1-n^2*eps，累加。

5楼2014-02-10 12:59:46

peterflyer

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Sum{x^n^2,0,∞}                      x趋于1-
=Lim Sum{x^n^2,0,N}                N趋于无穷、x趋于1-
=Sum{Lim x^n^2,0,N}                N趋于无穷、x趋于1-
  =Sum{1,0,∞}                            N趋于无穷
=∞

6楼2014-02-10 21:24:57

feixiaolin

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引用回帖:

4楼: Originally posted by boy2014 at 2014-02-10 12:57:24
那inf具体是关于x的什么表达形式呢？...

inf 无群大代号

7楼2014-02-10 22:28:12

jabile

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1/(1-x)
<= 1+x+x^2+x^3+....
>=1+x^1+x^4+...+x^{n^2}+x^{2n^2}+x^{3n^3}+......

8楼2014-02-12 16:13:49

http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=4594080&fpage=1

feixiaolin

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9楼2014-02-13 08:41:47

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8楼: Originally posted by jabile at 2014-02-12 16:13:49
1/(1-x)
<= 1+x+x^2+x^3+....
>=1+x^1+x^4+...+x^{n^2}+x^{2n^2}+x^{3n^3}+......

写错了，后面应该是
>=1+...+x^{(n-1)^2}+x^{n^2}[1+y+y^2+...]
等价于1/(1-y)，其中y=x^{(n+1)^2/n^2}
从而1/(1-y)等价于{(n+1)^2/n^2}{1/1-x}
因此原式是和{1/1-x}等价的无穷大

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10楼2014-02-13 10:47:28