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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 一道高数题，望高手指点。。。
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boy2014

新虫 (小有名气)

[求助] 一道高数题，望高手指点。。。 已有2人参与

就这题。
一道高数题，望高手指点。。。
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1楼 2014-02-10 12:05:04
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
sum[x^(n^2), {n, 0, inf}]是sum[x^n, {n, 0, inf}]的缺项级数；
在|x|<1时收敛；x=1时发散；
x→1-，即从1的左侧→1时，sum[x^(n^2), {n, 0, inf}]等价于inf，结论成立。

[ Last edited by feixiaolin on 2014-2-10 at 12:54 ]
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2楼2014-02-10 12:31:24
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boy2014

新虫 (小有名气)
就是这上面的一道题，
首届中国大学生数学竞赛试卷(2009年,非数学类）

http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=4394003&fpage=1
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3楼2014-02-10 12:41:23
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boy2014

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-02-10 12:31:24
sum是sum的缺项级数；
在|x|<1时收敛；x=1时发散；
x→1-，即从1的左侧→1时，sum等价于inf，结论成立。
...

那inf具体是关于x的什么表达形式呢？
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4楼2014-02-10 12:57:24
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
取x=1-eps, 对每一项做一阶近似=1-n^2*eps，累加。
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5楼2014-02-10 12:59:46
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
Sum{x^n^2,0,∞}                         x趋于1-  
=Lim Sum{x^n^2,0,N}                  N趋于无穷、x趋于1-
=Sum{Lim x^n^2,0,N}                  N趋于无穷、x趋于1-
  =Sum{1,0,∞}                              N趋于无穷
   =∞
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6楼2014-02-10 21:24:57
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
4楼: Originally posted by boy2014 at 2014-02-10 12:57:24
那inf具体是关于x的什么表达形式呢？...

inf  无群大 代号
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7楼2014-02-10 22:28:12
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jabile

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
1/(1-x)
<= 1+x+x^2+x^3+....
>=1+x^1+x^4+...+x^{n^2}+x^{2n^2}+x^{3n^3}+......
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8楼2014-02-12 16:13:49
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=4594080&fpage=1
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9楼2014-02-13 08:41:47
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jabile

木虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by jabile at 2014-02-12 16:13:49
1/(1-x)
<= 1+x+x^2+x^3+....
>=1+x^1+x^4+...+x^{n^2}+x^{2n^2}+x^{3n^3}+......

写错了，后面应该是
>=1+...+x^{(n-1)^2}+x^{n^2}[1+y+y^2+...]
等价于1/(1-y)，其中y=x^{(n+1)^2/n^2}
从而1/(1-y)等价于{(n+1)^2/n^2}{1/1-x}
因此原式是和{1/1-x}等价的无穷大
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10楼2014-02-13 10:47:28
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