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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 二元函数偏导存在，是不是函数就连续
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drh007

铜虫 (小有名气)

[交流] 二元函数偏导存在，是不是函数就连续 已有30人参与

二元函数在一点处的x，y偏导都存在，那么函数在这一点是不是一定连续?

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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适者生存
1楼 2013-11-08 23:58:24
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★
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反证法：若f(x,y)在点（x0,y0)处不连续，则其在点（x0,y0)处的偏导数pf(x,y)/px 、Pf(x,y)/Py肯定不存在；若pf(x,y)/px 、Pf(x,y)/Py在（x0,y0)处均存在，则因为Pf(x,y)/Pl=Pf(x,y)/Px *Cosθ+Pf(x,y)/Py*Sinθ （θ为l的方向矢量与x轴的夹角），则F(x,y）在点（x0,y0)处的任意方向的偏导数均存在。因此f(x,y)在点（x0,y0)处肯定连续（可导要比比连续严格的多。可导不但要求连续，还要求光滑）。
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6楼2013-11-09 14:14:11
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★
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引用回帖:
8楼: Originally posted by sdcyj72 at 2013-11-10 07:14:53
在一点处不连续，但偏导数却可以存在。如
(x,y)=(0,0)   f(x,y)=0
(x,y)not=(0,0), f(x,y)=xy/(x2+y2)
x2是平方的意思...

严格来讲，f(x,y)=xy/(x2+y2)在（0，0）处的偏导数并不存在。以Pf/Px为例。Pf/Px=y*(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2。假设沿y=k*x逼近（0，0）点，则：Pf/Px=k*（k^2-1）/(k^2+1)^2,由此可得，当沿不同路径逼近（0，0）点时，Pf/Px=k*（k^2-1）/(k^2+1)^2将得到不同的值，这说明Pf/Px=k*（k^2-1）/(k^2+1)^2并不存在（i当然也就不连续了）,因此我觉得楼主举得这个函数不能说明问题。
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12楼2013-11-10 19:30:29
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