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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 方阵是否正定？
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lipeng0327

木虫 (正式写手)

水手

[求助] 方阵是否正定？

A为m*m的方阵，其谱范数小于1，
问 A+I是否正定？I为m*m的方阵
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在绝望中寻找希望，人生终将辉煌。
1楼 2013-10-19 11:55:50
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wshaoxin

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
判断一个矩阵是否正定：首先是对称矩阵；其次特征值大于0（当然还有很多等价条件）。对于A来说，谱范数小于1，则有特征值的绝对值小于1，所以I+A的特征值应该是大于0的，所以正定。（保证是对称的情况下）
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Godhelpsthosewhohelpthemselves!
3楼2013-10-19 12:14:49
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tangise

至尊木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
A 不对称就谈不上正定与否。如A 对称，A的特征根绝对值小于1，可知 A+I 正定。
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2楼2013-10-19 12:14:47
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
楼上各位的回答正确!
首先是对称阵!
     然后由 谱范数小于1可知:
          A的特征值:   |lamd|<1
      I+A的特征值为:1+lamd
         而 1+lamd>0
所以I+A为正定阵!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
4楼2013-10-19 16:47:51
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yinhu1988

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引用回帖:
2楼: Originally posted by tangise at 2013-10-19 05:14:47
A 不对称就谈不上正定与否。如A 对称，A的特征根绝对值小于1，可知 A+I 正定。

there's no need to make A to be symmetric, it just asks that whether A+I is positive definite or not. Normally, we say that positive definiteness goes with symmetric property.
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君子务本，静水流深
5楼2013-10-20 00:21:45
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