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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 泰勒公式的问题！多项式怎么敢逼近一个函数 ，多项式与函数的关系
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xuelail

禁虫 (初入文坛)
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1楼 2012-05-19 14:05:51
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宁静的清晨

银虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

你是想问Taylor公式的问题还是函数的多项式逼近？按我的理解，这两个是不同的。
对于Taylor级数，若函数在某一点是解析的，则该函数在这点的Taylor级数存在且一致收敛于原函数；若函数在这点不是解析的，直到n阶可导，那么就有n次Taylor多项式可以近似原来的函数，相当于把Taylor级数截断到n次项。Taylor级数或者说Taylor公式是函数局部性质的体现，通过局部性质逼近整体函数。
而对于闭区间上的连续函数（不必可导），由Weierstrass第一逼近定理，存在多项式序列，在这个闭区间上一致收敛于原来的连续函数。这是区间上的整体收敛性质，与局部性质无关，但要注意，被逼近的函数必须是连续函数！
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7楼2015-03-17 09:10:11
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pengyehui

木虫 (正式写手)
泰勒展式只在展开点附近 按点逼近！
插值多项式倒可以在给定区间上逼近函数！
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2楼2012-05-19 18:57:59
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lipingzhu

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
泰勒多项式展开是在一个点的某个领域内的问题，就如同导数是个局部概念，理解函数的导数的几何意义，就自然理解泰勒展开式对任意函数只是在某点处可以任意逼近的含义了。要在整体上来逼近一个函数，这是另一个问题了。
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3楼2012-05-20 14:08:12
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leoxtu

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
泰勒展开是在函数的某一点进行多项式逼近。
对一个函数y=f(x)，知道函数在(x0,y0)的函数值，以及各阶导数的性质，就能在这个点（注意只是一个点）找一个多项式函数去逼近它。得到的逼近函数（泰勒展开公式）在（x0,y0）附近的函数值，以及各阶导数的性质与原函数y=f(x)是一样的。
泰勒展开只是在某一点展开，并不是一个全局的概念。也就是说，在(x0,y0)得到的展开式，只在(x0,y0)点附近效果比较好。
如果要对一个函数进行整体的逼近，去学习数值分析中的多项式插值。
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4楼2012-05-20 16:11:44
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