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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助一道高代题……
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thematicsroy

新虫 (小有名气)

[求助] 求助一道高代题……

对任意n维列向量a,b，a'Ab=0当且仅当b'Aa=0，证明A对称或反对称
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1楼 2012-04-21 22:28:47
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junliwang

银虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
你说的“a'Ab=0当且仅当b'Aa=0”是什么意思？请说明一下啊
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2楼2012-04-27 08:42:00
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thematicsroy

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by junliwang at 2012-04-27 08:42:00:
你说的“a'Ab=0当且仅当b'Aa=0”是什么意思？请说明一下啊

就是说“a'Ab=0“和”b'Aa=0”等价，其中a',b'表示a,b的转置
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3楼2012-04-27 09:23:54
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shtlyou

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
lovibond: 金币+1, 鼓励交流 2012-04-28 13:41:04
哈，你的意思是说对任意n维列向量a,b，当a'Ab=0与b'Aa=0同时成立时，证明A对称或反对称吧？
我是这样理解的，设ah表示n维列向量a的第h个元素为1，其它元素均为0，bm表示n维列向量b的第m个元素为1，其它元素均为0.aij表示A的第i行第j列元素。其中h,m属于[1,2,3------n]
ah'Abm=ahm=0,可得A的每一个元素均为0，故A为对称阵，不知道写的对不，楼主1是我的朋友，哈
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想过成功，想过失败，但从来没有想过放弃。只为成功找办法，不为失败找理由！
4楼2012-04-27 10:32:03
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laosam280

禁虫 (正式写手)
★
感谢参与，应助指数 +1
lovibond: 金币+1, 鼓励交流 2012-04-28 13:41:15
本帖内容被屏蔽
5楼2012-04-27 10:39:49
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thematicsroy

新虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by shtlyou at 2012-04-27 10:32:03:
哈，你的意思是说对任意n维列向量a,b，当a'Ab=0与b'Aa=0同时成立时，证明A对称或反对称吧？
我是这样理解的，设ah表示n维列向量a的第h个元素为1，其它元素均为0，bm表示n维列向量b的第m个元素为1，其它元素均为0 ...

我觉得这句话“a'Ab=0当且仅当b'Aa=0”的意思就表示了并不是对所有的a,b都有a'Ab=0吧？不过还是谢谢你的回答了~
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6楼2012-04-28 10:22:27
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thematicsroy

新虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by laosam280 at 2012-04-27 10:39:49:
由a和b的任意性，则：
(a'Ab)'+/-b'Aa=0,即
b'(A'+/-A)a=0,即
A'+/-A=0,即
A是对称或者反对称。

应该不是对任意a,b都有a'Ab=0吧，不然就太简单了……
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7楼2012-04-28 10:23:23
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laosam280

禁虫 (正式写手)
本帖内容被屏蔽
8楼2012-04-28 11:01:34
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thematicsroy

新虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by laosam280 at 2012-04-28 11:01:34:
题目不是写了“对任意n维列向量a,b”

题的意思应该是：a,b可以取任意向量，当a'Ab=0时当且仅当b'Aa=0，说明a'Ab=0是有条件的~
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9楼2012-04-28 11:52:00
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ligrid

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
证明分为
第一步：存在\lambda使得Ab=\lambda A^T b总是成立。
将R^n分解为Ker A = W和它的正交补W^T，
如果b\in W，则A^Tb =0，若b\in W^T 则Ab//A^Tb
利用反证法证明对所有的b\in W^T，存在一个共同的\lambda使得Ab=\lambda A^T b。（细节略去，注意到两点，A^Tb=0\rightarrow Ab=0,以及 任意2个线性无关的W^T中的向量张成的平面只和W有一个交点0 ）
第二步：如果所有的b都有b^T A b =0 则A为反对称。
否则，b^TAb=\lambda b^TA^T b=\lambda b^TAb，得到\lambda =1，于是Ab=A^Tb得到A对称。
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10楼2012-04-29 15:36:35
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