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thematicsroy新虫 (小有名气)
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| 对任意n维列向量a,b，a'Ab=0当且仅当b'Aa=0，证明A对称或反对称 |
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thematicsroy
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thematicsroy
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ligrid
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证明分为 第一步：存在\lambda使得Ab=\lambda A^T b总是成立。 将R^n分解为Ker A = W和它的正交补W^T， 如果b\in W，则A^Tb =0，若b\in W^T 则Ab//A^Tb 利用反证法证明对所有的b\in W^T，存在一个共同的\lambda使得Ab=\lambda A^T b。（细节略去，注意到两点，A^Tb=0\rightarrow Ab=0,以及 任意2个线性无关的W^T中的向量张成的平面只和W有一个交点0 ） 第二步：如果所有的b都有b^T A b =0 则A为反对称。 否则，b^TAb=\lambda b^TA^T b=\lambda b^TAb，得到\lambda =1，于是Ab=A^Tb得到A对称。 |
10楼2012-04-29 15:36:35
