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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 那位大侠，帮帮忙，求助一个二阶微分方程的解，谢谢！
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zhycfb2009

新虫 (初入文坛)

[求助] 那位大侠，帮帮忙，求助一个二阶微分方程的解，谢谢！

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zhycfb2009

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1楼 2011-12-06 21:57:27
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soliton923

铁杆木虫 (职业作家)

数学村村长
啊哈  是老乡  我帮你了 等等哈

好像没有精确解

机器结果




[ Last edited by soliton923 on 2011-12-6 at 23:27 ]
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soliton;sato-theory;algebre-geometry；Random-Matrices-Theory; Riemann-Hilbert method
2楼2011-12-06 23:22:44
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cars

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
先只求出通解之一,特解待求。
y=exp(-cx/(a+b));
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3楼2011-12-23 09:41:13
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cars

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

齐次方程通解为
y^(-b)*[(a+b)*y(-b/a)-c*y]^(-a)=C*exp(x/c);
和y=exp(-cx/(a+b));
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4楼2011-12-23 16:15:05
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zhycfb2009

新虫 (初入文坛)
送鲜花一朵
老乡，我的是二阶微分，您给我的是一阶微分的答案。有误啊！老乡。
另外，cars您的通解 y=exp(-cx/(a+b))是二阶导数方程的通解吗？谢谢！
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5楼2011-12-25 12:00:40
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cars

金虫 (小有名气)
y^(-b)*[(a+b)*y(-b/a)-c*y]^(-a)=C*exp(x/c);
和y=exp(-cx/(a+b));
均是ayy''+by'y'+cy'y=0的解，
你可以验证一下。
而且应该是其全部解。
特解我还没求出来。
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6楼2011-12-26 15:02:01
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cars

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

ayy''+by'y'+cy'y=0;
令z=y';则y''=z'=dz/dx=z*dz/dy;
方程变为
ayz*dz/dy+bzz+czy=0;
令g=z+(c/(a+b))*y;
当z不恒等于0时，原方程变为
d(yg)/dy-(1-b/a)g=0;
此方程的第一个解为g=0;即y=exp(-cx/(a+b));
此解可以很方便的在原方程中验证。
当g不恒等于0时，
d(yg)/yg=(1-b/a)*dy/y;
g=y^(-b/a);
待续，明天继续
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7楼2011-12-26 17:39:57
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cars

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

zhycfb2009(金币+10): ★有帮助 谢谢！ 2012-02-15 16:19:18
续：
即dy/dx=y^(-b/a)-c/(a+b)*y;
dy/(y^(-b/a)-c/(a+b)*y)=dx;
积分取指数得(y^b*[(a+b)*y^(-b/a)-cy]^a=exp(-cx);
化简得
y=[(a+b)/c-1/c*exp(-cx/a)]^[a/(a+b)];
综合两个解，得齐次方程通解为
y=[(a+b)/c-C1/c*exp(-cx/a)]^[a/(a+b)]+C2*exp[-cx/(a+b)];
其中C1、C2为常数。
齐次方程解求毕。
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8楼2011-12-27 13:32:56
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cars

金虫 (小有名气)
6楼我没化简，而且有点小错应为exp(cx)，不是exp(x/c)。
8楼的结果我代入原方程ayy''+by'y'+cy'y=0验证过了，没有问题。
特解还没求出来。
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zhycfb2009
9楼2011-12-27 13:36:52
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zhycfb2009

新虫 (初入文坛)
送鲜花一朵
引用回帖:
楼: Originally posted by cars at 2011-12-27 13:36:52:
6楼我没化简，而且有点小错应为exp(cx)，不是exp(x/c)。
8楼的结果我代入原方程ayy''+by'y'+cy'y=0验证过了，没有问题。
特解还没求出来。

感谢！
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10楼2012-02-08 17:33:16
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