[求助] 求助一个类似二项展开式的等式

如题，希望有高手帮忙一个，这应该是用泰勒展开式，但我就是凑不出来！
题目的word形式传到附件了，希望有虫子帮忙一下，算好了可以直接回复或者打印一下，发到附件的形式。谢谢！
[ Last edited by lianboyong on 2011-10-3 at 12:07 ]

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1楼 2011-10-03 12:05:29

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lianboyong

金虫 (小有名气)

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基本弄懂了，谢谢

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3楼2011-10-03 17:25:47

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lizhmath

金虫 (初入文坛)

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【答案】应助回帖

★
lianboyong(金币+10): 基本弄懂了，谢谢！但不知有没有直接证明，而不是归纳法。呵呵 2011-10-03 17:25:13
nono2009(金币+1, 数学EPI+1): 鼓励应助 2011-10-04 07:24:40

利用定义证明
$\left[n\atop k \right ]=q^k\left[n-1\atop k \right ]+\left[n-1\atop k-1\right].$
然后可以类似于二项式定理对n归纳证明。n是0和1时容易证明成立。n>1时，左边分解为三项
$\sum_{k=0}^n=(\text{term of} \;k=0)+\sum_{k=1}^{n-1}+(\text{term of\;} k=n),$
中间求和的q二项系数用一开始的等式代入，分解为两个求和。其中第一个求和
和上式的第一项合并，利用归纳假设可证为1－x；而第二个求和和上式的第三项合并，利用归纳假设可知为x。

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2楼2011-10-03 16:21:58

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lianboyong

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