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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 计算模拟区 » 程序语言 » 其它 » Euler 工程 第廿六题：最长的循环节
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holmescn

金虫 (正式写手)

[交流] Euler 工程 第廿六题：最长的循环节 已有4人参与

鉴于刚才发的那了Fibonacci数列的题太无聊，可能用C写大数加法也不会太慢，所以再发一个吧，这个有点意思了。

分子为1的分数可以写成一个有限小数或者无限循环小数。比如分母从2到10的分数就写为：

1/2        =         0.5
1/3        =         0.(3)
1/4        =         0.25
1/5        =         0.2
1/6        =         0.1(6)
1/7        =         0.(142857)
1/8        =         0.125
1/9        =         0.(1)
1/10 =         0.1

这里, 0.1(6) 表示0.1666666......。可见其循环节为1个数字。而1/7则有6个数字的循环节。

那么，分母小于1000的所有分子为1的分数中，谁的循环节最长呢？

[ Last edited by holmescn on 2011-6-11 at 10:09 ]
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1楼 2011-06-11 10:08:35
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libralibra

至尊木虫 (著名写手)

骠骑将军
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jjdg(金币+3): 辛苦了 2011-06-11 22:44:31
dubo(金币+1): 欢迎常来程序语言版讨论 2011-06-11 22:44:43
余泽成(程序强帖+1): 2011-06-15 21:03:07
模拟除法,python代码
CODE:
#! usr/bin/env python

from mytictoc import tic, toc

# 返回1/n的循环节长度
def findCircleLen(n):
    rem = 1
    # 循环节前面的0,不影响结果
    while rem         rem *= 10

    # 保存余数的list
    rem_list = []
   
    # 计算余数
    rem %= n

    # 做除法,循环直到: a)余数为0; b)以前出现过的余数再次出现
    while rem!=0 and rem not in rem_list:

        rem_list.append(rem) # 添加当前余数到余数列表
        
        rem *= 10 # 补0

        # 一直补到可以接着做除法,保存补零后的结果到列表
        while rem             rem_list.append(rem)
            rem *= 10

        # 计算下一个余数
        rem %= n

    # 循环结束时,如果余数为0,说明整除,循环节长度返回0
    if rem==0:
        return 0

    # 返回循环节长度
    else:
        return len(rem_list)

def euler26():
    tic()
    s = [findCircleLen(x) for x in xrange(2,1000)]
    print 2+s.index(max(s))
    toc()

if __name__=='__main__':
    euler26()

结果:
CODE:
983
Elapsed time: 0.52579169 seconds

[ Last edited by libralibra on 2011-6-11 at 15:17 ]
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2楼2011-06-11 15:15:59
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huycwork

金虫 (著名写手)
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引用回帖:
Originally posted by libralibra at 2011-06-11 15:15:59:
模拟除法,python代码
[code]#! usr/bin/env python

from mytictoc import tic, toc

# 返回1/n的循环节长度
def findCircleLen(n):
    rem = 1
    # 循环节前面的0,不影响结果
    while rem<n:
...


好算法，接近最优了。
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漩涡的中心有一块空地，空空的。
3楼2011-06-11 18:56:05
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libralibra

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引用回帖:
Originally posted by huycwork at 2011-06-11 18:56:05:

好算法，接近最优了。

不过我记得小学奥数的时候,好像讲过a/b的循环节计算方法
需要化简后分解质因数的,然后怎么判断999..9整除的个数的,
记不大清了
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4楼2011-06-11 20:04:23
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huycwork

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引用回帖:
Originally posted by libralibra at 2011-06-11 20:04:23:
不过我记得小学奥数的时候,好像讲过a/b的循环节计算方法
需要化简后分解质因数的,然后怎么判断999..9整除的个数的,
记不大清了

这个也有通项公式？这就跟那个斐波那契数一样的必须先算前面才能知道后面那个数啊，每个余数都恰好只计算了一次，这种计算方法而言，已经是最优解法了。除非存在某种直接导出长度的方法。

我原先也分析过筛数算法来着，得出了两个规则：
1.某个生成循环节的数针对不同的确定数长度是一致的，比如3的循环节只有1个，那任何确定的数对3做除法都只能产生1个循环节，如，0.13/3，0.17/3都只有一个循环节
2.对于符合规则1的数的积都可能产生更长的循环节，如3的循环节是1(1/3=0.(3))，3*3的循环节还是1(1/9=0.(1))，但是3*9的循环节就有3个(1/27=0.(037))，对于3*7的循环节，则是6个，其中1/7=0.(142857)，1/21=0.(047619)。

但是后来一想就傻了，筛了还不如没筛，原先是O(n)的算法，筛数算法却要O(n*n)，得不偿失。
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5楼2011-06-11 21:16:29
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libralibra

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引用回帖:
Originally posted by huycwork at 2011-06-11 21:16:29:
这个也有通项公式？这就跟那个斐波那契数一样的必须先算前面才能知道后面那个数啊，每个余数都恰好只计算了一次，这种计算方法而言，已经是最优解法了。除非存在某种直接导出长度的方法。

我原先也分析过筛 ...

我记得奥数的时候用笔算很简单,想用程序实现,还不如模拟竖式除法好理解.

搜了下,这有个比较详细的讲解
http://hi.baidu.com/piaoshi111/b ... 857caccd1166a6.html
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6楼2011-06-11 22:02:07
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huycwork

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引用回帖:
Originally posted by libralibra at 2011-06-11 22:02:07:
我记得奥数的时候用笔算很简单,想用程序实现,还不如模拟竖式除法好理解.

搜了下,这有个比较详细的讲解
http://hi.baidu.com/piaoshi111/b ... 857caccd1166a6.html

高手果然得从娃娃抓起哈~
刚才看了下那个我就突然想起来高中学数列的时候也讲过用等比数列转换循环小数的，0.333...=0.3+0.03+0.003+...这样。如果把这题也换一下，所有的循环节都可以改成等差数列的形式，然后逆推，应该也是一种方案。

我说高考的数列和排列组合咋这么难，敢情是天才班的内部资料外泄了。
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7楼2011-06-11 22:24:28
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tieer

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jjdg(金币+1): 欢迎来程序版交流 2011-06-15 00:13:30
是不是应该要找1000里最大的素数，然后计算循环节长度就可以了啊
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思考，让这个世界更有趣。
8楼2011-06-14 21:34:39
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libralibra

至尊木虫 (著名写手)

骠骑将军
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引用回帖:
Originally posted by tieer at 2011-06-14 21:34:39:
是不是应该要找1000里最大的素数，然后计算循环节长度就可以了啊

1000内最大素数是997
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9楼2011-06-15 00:14:51
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qinghuoly

木虫 (正式写手)
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xzhdty(金币+2): 欢迎到程序语言来 2011-06-27 10:03:40
循环小数1/d的循环节c长度为n；f为d因式分解后移除2和5的因子的乘积。则999...9（n个9）恰好能整除f。
n即为循环节长度。

例如
1/7=0.(142857)
1/12=0.08(3)    此时d为12，因式分解为 2 2 3；移除两个2，得到f＝3 ; 999999/7=142857
1/420=0.00(238095)       此时d为420，因式分解为 2 2 3 5 7；移除两个2，一个5; 得到f＝21 ; 999999/21=47619


循环节为142857


scheme语言解法：
CODE:
[define [ans26]

  [define N 1000]
  [define M [string->number [string-append "1" [make-string 30 #\0]]]]
  [define [recur n d]
    ;get the recurring cycle length of n/d
    [define [r counter x deno]
      [if [= 0 [remainder x deno]]
          counter
          [r [add1 counter]
             [+ 9 [* 10 x]]
             deno]]]
    [let* [[c [denominator
               [/ M
                  [denominator [/ n d]]]]]
           [o [add1 [order-of-magnitude c]]]
           ]
      [if [= c 1]
          0
          [r o
             [string->number
              [string-append
                     [make-string o #\9]]]
             c]]]]
  [define [c num max len]
    [if [= num N]
        [list max len]
        [if [>= len [recur 1 num]]
            [c [+ 1 num] max len]
            [c [+ 1 num] num [recur 1 num]]]]]
  [c 3 2 1]]

CODE:
> [time [ans26]]
cpu time: 531 real time: 547 gc time: 126
'(983 982)

耗时547 ms。答案为983，循环节长为982

[ Last edited by qinghuoly on 2011-6-27 at 22:52 ]
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天地为帐，日月为灯，风雷为号角，云虹为旗令，山川为阵图，草木为兵卒。运阴阳五行为谋，策古今兴替为略。
10楼2011-06-27 07:20:36
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