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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 计算模拟区 » 程序语言 » 其它 » Euler 工程 第廿四题：全排列的第100万项
北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告
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holmescn

金虫 (正式写手)

[交流] Euler 工程 第廿四题：全排列的第100万项 已有5人参与

一个排列是一组对象的一个有序排列。比如3123是数字1、2、3和4的一个可能的排列。如果把所有的排列按照其数字or字母的大小顺序都列出来，那就成为一个全排列。比如0、1、2的全排列是：
012 021 102 120 201 210

那么，数字0、1、2、3、4、5、6、7、8和9的全排列的第100万项是多少？
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1楼 2011-06-10 10:27:10
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huycwork

金虫 (著名写手)
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微尘、梦想(金币+5): 鼓励交流~~ 2011-06-10 21:51:26
C++蛮力版代码：
CODE:
#include
#include
#include
using namespace std;

bool next_digit(char *first, char *last, char *end){
        char *left, *right;
        if(last-first<2){
                return false;
        }
        for(right = last; right > first; --right){
                for(left = right-1; left >= first; --left){
                        if(*left < *right){
                                if(!next_digit(left+1, right, end)){
                                        swap(*left, *right);
                                        sort(left+1, end);
                                        return true;
                                }else
                                        return true;
                        }
                }
        }
        return false;
}

string eular24(const string &str){
        char *base = const_cast(str.c_str());
        for(size_t i = 1; i < 1000000; ++i)
                next_digit(base, base+str.length()-1, base+str.length());
        return str;
}

int main(){
        cout<         return 0;
}
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漩涡的中心有一块空地，空空的。
2楼2011-06-10 11:45:00
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huycwork

金虫 (著名写手)
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微尘、梦想(金币+3): 谢谢分享~~ 2011-06-10 21:51:54
非蛮力版也有，不过不是自己想出来的，就不好意思直接贴代码了，基本想法就是数制的扩展：
二进制数制是这个样子：
a1*2^n+a2*2^(n-1)+...+an*2^1+a*2^0
十进制数制是这样子：
b1*10^n+b2*10^(n-1)+...+bn*10^1+b*10^0
那我们可以考虑阶乘进制：
c1*n!+c2*(n-1)!+...+cn*1!+c*0!
不过阶乘有点问题就是1!是1，0!是0，那就失去了最后一个的意义，所以最后一个去掉：
c1*n!+c2*(n-1)!+...+cn*1!+c
那前面的6个数就依次是：
0=0*2!+0*1!+0 => 012
1=0*2!+1*1!+0 => 021
2=1*2!+0*1!+0 => 102
3=1*2!+1*1!+0 => 120
4=2*2!+0*1!+0 => 201
5=2*2!+1*1!+0 => 210
上面的计算当然跟一般的进制计算不同，一般的进制计算是要求前面的数不能大过模数，二进制的前缀只能是0和1，十进制的前缀只能是0~9，而阶乘进制的前缀就只能是0~n，n是指后面的n!，以3=>120为例，前面的运算应该是这样子：
2!：012，前缀就是take out的索引，例子的是1
1!：02，例子中的是1，拿走的就是2
0!：0，剩下来的没得选择，这也是每个末尾都是0的原因
组合起来就是120
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漩涡的中心有一块空地，空空的。
3楼2011-06-10 12:04:56
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wangww2011

木虫 (著名写手)
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微尘、梦想(金币+5): 鼓励交流~~ 2011-06-10 21:52:10
c语言非蛮力版
当时就乱写了个 也不清楚和上面的算法一样不一样
CODE:
#include
#include


char *euler24(int n){
        int a[10],i,j,i0;
        a[0]=1;
        for(i=1;i<10;i++)a[i]=a[i-1]*(i+1);

        for(i=0;i<10;i++){
                if(a[i]>=n){
                        i0=i+1;break;
                }
        }

        int b[i0];
        for(i=i0-2;i>=0;i--){
                b[i]=n/a[i];
                n%=a[i];
                if(n==0){
                        b[i]--;
                        n=a[i];
                }
        }  

        int p[i0];
        char str[i0+1];
        for(i=0;i
        for(i=0;i                 str[i]=p[b[i0-i-2]]+48;
                for(j=b[i0-i-2];j                         p[j]=p[j+1];
     
        }
        str[i0-1]=p[0]+48;
        str[i0]='\0';

        return strdup(str);
}


int main(void){

        printf("%s\n",euler24(1000000));

        return 0;
}

[ Last edited by wangww2011 on 2011-6-10 at 13:28 ]
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4楼2011-06-10 13:24:31
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libralibra

至尊木虫 (著名写手)

骠骑将军
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微尘、梦想(金币+4): 鼓励交流~~ 2011-06-10 21:52:28
python偷懒版
CODE:
# 2783915460
# Elapsed time: 0.35266074 seconds

import itertools
from mytictoc import tic, toc

tic()
m=itertools.permutations('0123456789')

for i in xrange(1000000-1):
    m.next()

print ''.join(list(m.next()))
toc()
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matlab/VB/python/c++/Java写程序请发QQ邮件:790404545@qq.com
5楼2011-06-10 14:58:47
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fatpig8832

铁杆木虫 (著名写手)
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微尘、梦想(金币+3): 欢迎参与~~ 2011-06-10 21:52:46
此题改小一点可以做初中或小学奥数题了...

10!=3628800, 10!/10=362880
1000000/362880=2.75------（0123456789）第一位是2
1000000-362880*2=274240
362880/9=40320
274240/40320=6.80------（013456789）第二位是7
274240-40320*6=32320
40320/8=5040
32320/5040=6.40------（01345689）第三位是8
32320-5040*6=2080
5040/7=720
2080/720=2.89------（0134569）第四位是3
2080-720*2=640
720/6=120
640/120=5.33------（014569）第五位是9
640-120*5=40
120/5=24
40/24=1.67------（01456）第六位是1
40-24*1=16
24/4=6
16/6=2.67------（0456）第七位是5
16-6*2=4
6/3=2
4/2=2------（046）第八位是4
此处已实现整除，后三位必为4开头的最大数，即460.

所以最后结果为 2783915460...
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6楼2011-06-10 15:50:03
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libralibra

至尊木虫 (著名写手)

骠骑将军
★ ★
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dubo(金币+1): 欢迎常来程序语言版讨论 2011-06-13 19:33:20
引用回帖:
Originally posted by fatpig8832 at 2011-06-10 15:50:03:
此题改小一点可以做初中或小学奥数题了...

10!=3628800, 10!/10=362880
1000000/362880=2.75------（0123456789）第一位是2
1000000-362880*2=274240
362880/9=40320
274240/40320=6.80------（013456789） ...

此法甚妙,一开始除362880的1000000是怎么来的?解释下,谢谢了
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matlab/VB/python/c++/Java写程序请发QQ邮件:790404545@qq.com
7楼2011-06-10 16:21:24
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holmescn

金虫 (正式写手)
★ ★ ★
微尘、梦想(金币+3): 鼓励交流~~ 2011-06-10 21:53:27
晕，发晚了


楼上怎么没人帖答案和时间了？

我的想法是利用阶乘直接算。因为一个全排列，其实就是每个元素都要在一个位置上出现一次。这样一共有n!个排列（这个地球人都知道）。
这样，如果某一位确定了的话，那么其余的位再用其余的数全排列就行了。（这话怎么这么绕口）

已经知道10!=3628800,9!=362880,这样1000000 - 2*9! = 274240, 也就是说第一位取0,1都不够数，取2，而后面的没的完成全排列就够100万了。OK，第一位是2了。
下面列表：

8! = 40320  274240 - 6 * 8! = 32320 第2位：7
7! = 5040   32320  - 6 * 7! = 2080  第3位：8
6! = 720    2080   - 2 * 6! = 640   第4位：3
5! = 120    640    - 5 * 5! = 40    第5位：9
4! = 24     40     - 1 * 4! = 16    第6位：1
3! = 6      16     - 2 * 3! = 4     第7位：5
2! = 2      4      - 2 * 2! = 0

最后剩：0 4 6 这三个数了. 而最后一个余0了。也就是第2个排列正好就够第100万个了.这样结果就是：2783915460

不知道结果是不是对。这个用时当然很少的了。
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8楼2011-06-10 17:09:02
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fatpig8832

铁杆木虫 (著名写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
Originally posted by libralibra at 2011-06-10 16:21:24:
此法甚妙,一开始除362880的1000000是怎么来的?解释下,谢谢了

这个...不就是题目中的一百万吗...不过这不是编程而是死算，初中生甚至小学生都能搞出来...

8楼的做法应该和我的一样吧，虽然我没怎么看懂...
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9楼2011-06-10 17:32:00
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holmescn

金虫 (正式写手)
★ ★ ★
微尘、梦想(金币+3): 鼓励交流~~ 2011-06-10 21:53:45
python版代码，算法刚才解释过了。
CODE:
def fac(n):
    return reduce(lambda x, y: x*y, range(1, n+1))

n = 1000000
i = 9
numbers = range(10)
result = []

while i > 0 and n > 0:
    if n % fac(i) != 0:
        result.append(numbers[n/fac(i)])
    else:
        result.append(numbers[n/fac(i)-1])
    numbers.remove(result[-1])
    n  = n % fac(i)
    i -= 1

if len(numbers) > 0:
    numbers.reverse()
    result.extend(numbers)

print "".join([str(x) for x in result])

[ Last edited by holmescn on 2011-6-11 at 07:58 ]
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10楼2011-06-10 18:03:37
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