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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 计算模拟区 » 程序语言 » 其它 » Euler 工程 第廿六题：最长的循环节
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holmescn

金虫 (正式写手)

[交流] Euler 工程 第廿六题：最长的循环节 已有4人参与

鉴于刚才发的那了Fibonacci数列的题太无聊，可能用C写大数加法也不会太慢，所以再发一个吧，这个有点意思了。

分子为1的分数可以写成一个有限小数或者无限循环小数。比如分母从2到10的分数就写为：

1/2        =         0.5
1/3        =         0.(3)
1/4        =         0.25
1/5        =         0.2
1/6        =         0.1(6)
1/7        =         0.(142857)
1/8        =         0.125
1/9        =         0.(1)
1/10 =         0.1

这里, 0.1(6) 表示0.1666666......。可见其循环节为1个数字。而1/7则有6个数字的循环节。

那么，分母小于1000的所有分子为1的分数中，谁的循环节最长呢？

[ Last edited by holmescn on 2011-6-11 at 10:09 ]
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1楼 2011-06-11 10:08:35
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huycwork

金虫 (著名写手)
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jjdg(金币+1): 感谢参与 2011-06-11 22:44:11
jjdg(金币+1): 感谢参与 2011-06-11 22:44:19
dubo(金币+1): 欢迎常来程序语言版讨论 2011-06-11 22:44:51
引用回帖:
Originally posted by libralibra at 2011-06-11 15:15:59:
模拟除法,python代码
[code]#! usr/bin/env python

from mytictoc import tic, toc

# 返回1/n的循环节长度
def findCircleLen(n):
    rem = 1
    # 循环节前面的0,不影响结果
    while rem<n:
...


好算法，接近最优了。
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漩涡的中心有一块空地，空空的。
3楼2011-06-11 18:56:05
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libralibra

至尊木虫 (著名写手)

骠骑将军
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jjdg(金币+3): 辛苦了 2011-06-11 22:44:31
dubo(金币+1): 欢迎常来程序语言版讨论 2011-06-11 22:44:43
余泽成(程序强帖+1): 2011-06-15 21:03:07
模拟除法,python代码
CODE:
#! usr/bin/env python

from mytictoc import tic, toc

# 返回1/n的循环节长度
def findCircleLen(n):
    rem = 1
    # 循环节前面的0,不影响结果
    while rem         rem *= 10

    # 保存余数的list
    rem_list = []
   
    # 计算余数
    rem %= n

    # 做除法,循环直到: a)余数为0; b)以前出现过的余数再次出现
    while rem!=0 and rem not in rem_list:

        rem_list.append(rem) # 添加当前余数到余数列表
        
        rem *= 10 # 补0

        # 一直补到可以接着做除法,保存补零后的结果到列表
        while rem             rem_list.append(rem)
            rem *= 10

        # 计算下一个余数
        rem %= n

    # 循环结束时,如果余数为0,说明整除,循环节长度返回0
    if rem==0:
        return 0

    # 返回循环节长度
    else:
        return len(rem_list)

def euler26():
    tic()
    s = [findCircleLen(x) for x in xrange(2,1000)]
    print 2+s.index(max(s))
    toc()

if __name__=='__main__':
    euler26()

结果:
CODE:
983
Elapsed time: 0.52579169 seconds

[ Last edited by libralibra on 2011-6-11 at 15:17 ]
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2楼2011-06-11 15:15:59
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libralibra

至尊木虫 (著名写手)

骠骑将军
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jjdg(金币+1): 感谢参与 2011-06-11 22:44:03
dubo(金币+1): 欢迎常来程序语言版讨论 2011-06-11 22:44:57
引用回帖:
Originally posted by huycwork at 2011-06-11 18:56:05:

好算法，接近最优了。

不过我记得小学奥数的时候,好像讲过a/b的循环节计算方法
需要化简后分解质因数的,然后怎么判断999..9整除的个数的,
记不大清了
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4楼2011-06-11 20:04:23
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huycwork

金虫 (著名写手)
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引用回帖:
Originally posted by libralibra at 2011-06-11 20:04:23:
不过我记得小学奥数的时候,好像讲过a/b的循环节计算方法
需要化简后分解质因数的,然后怎么判断999..9整除的个数的,
记不大清了

这个也有通项公式？这就跟那个斐波那契数一样的必须先算前面才能知道后面那个数啊，每个余数都恰好只计算了一次，这种计算方法而言，已经是最优解法了。除非存在某种直接导出长度的方法。

我原先也分析过筛数算法来着，得出了两个规则：
1.某个生成循环节的数针对不同的确定数长度是一致的，比如3的循环节只有1个，那任何确定的数对3做除法都只能产生1个循环节，如，0.13/3，0.17/3都只有一个循环节
2.对于符合规则1的数的积都可能产生更长的循环节，如3的循环节是1(1/3=0.(3))，3*3的循环节还是1(1/9=0.(1))，但是3*9的循环节就有3个(1/27=0.(037))，对于3*7的循环节，则是6个，其中1/7=0.(142857)，1/21=0.(047619)。

但是后来一想就傻了，筛了还不如没筛，原先是O(n)的算法，筛数算法却要O(n*n)，得不偿失。
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5楼2011-06-11 21:16:29
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