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学虫dj

金虫 (正式写手)

[求助] 为什么我用matlab中的eig函数求实对称矩阵的特征值有负数？？？？ 已有3人参与

我在网上也查了一下，都说实对称矩阵的特征值应该是非负的。
但是我用matlab中的eig函数求【  矩阵G的转置乘以G 】GT*G   的特征值中竟然有负数。
这是为什么呢？
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穷则独善其事，达则兼济天下
1楼 2015-11-06 09:21:12
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

mygt_hit

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
学虫dj: 金币+10 2015-11-09 08:45:35
引用回帖:
4楼: Originally posted by 学虫dj at 2015-11-08 10:41:39
嗯 你说的很有道理   我百度了一下，也查到了一些结果像你一样的结论  。但是也就证明应该是非负的下面我给你两个截图 你看看这结论是不是矛盾的

火狐截图_2015-11-08T02-30-14.432Z.png

火狐截图_2015-11-08T02 ...

你给的证据是对的，对于你给的这种特殊的对称阵(形如G’G)，应该是半正定的，即特征值非负。
正定矩阵的定义是符合x'Ax >0的对称阵(也有更广义的定义，定义只符合x'Ax>0的矩阵为正定阵，即去掉了对称性要求)。也就是说正定是比对称更强的条件，对称阵不一定正定，正定阵一定是对称的。对称是正定的必要不充分条件。
正定阵有一些特性：特征值全部大于0，主元全部大于0，顺序主子式全部大于0，还有其他一些信息可以参考维基百科：https://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_matrix

所以如果出现负特征值，很可能是软件算错了。
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知其然，知其所以然。
22楼2015-11-08 12:38:59
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mygt_hit

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
实对称阵的特征值全为实数、不同特征值对于的特征向量正交，不一定是正的。举个简单例子，负单位阵，特征值为-1.
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知其然，知其所以然。
2楼2015-11-06 13:16:10
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virtualzx

木虫 (著名写手)
G是不是实矩阵？另外负特征值有多大？

只有实矩阵才能保证G^T.G半正定

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3楼2015-11-06 17:23:32
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sk时空

新虫 (小有名气)
拜托，实对称是实数，正定矩阵才是非负

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5楼2015-11-08 10:44:22
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sk时空

新虫 (小有名气)
学虫dj: 回帖置顶 2015-11-09 08:46:55
你应该说正定矩阵。而不是实对称，当然正定也是实对称。可能是你的矩阵并不对称吧。

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6楼2015-11-08 10:45:36
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sk时空

新虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by 学虫dj at 2015-11-08 10:46:30
1、G是实矩阵，但是里面的元素有正数也有负数。
2、负数的特征很大 ，我查百度的时候也看到，可能是用很小的负数代替了0，但不是这样  我得到的负数很大。...

你用别的软件试试。matlab好像用的lapack吧。

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9楼2015-11-08 10:49:52
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sk时空

新虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by 学虫dj at 2015-11-08 10:48:51
也就是实对称矩阵的特征值有正数也可以有负数，而正定矩阵的特征值才必须是非负的？...

GGT应该是正定的，出现负的就是有问题。

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10楼2015-11-08 10:50:45
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sk时空

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引用回帖:
11楼: Originally posted by 学虫dj at 2015-11-08 10:53:08
1、我不确定我的矩阵是不是正定的，所以不能那么说。
2、我的矩阵肯定是对称的 ，因为矩阵G‘G，就是一个矩阵乘以本身的转置.
3、正定矩阵和实对称矩阵是什么关系，正定矩阵一定是实对称矩阵，但是实对称矩阵不一 ...

1,2:GG'是正定。3:正定?实对称

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12楼2015-11-08 10:56:20
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sk时空

新虫 (小有名气)
引用回帖:
20楼: Originally posted by 学虫dj at 2015-11-08 11:19:33
你确定GG’必须为正定矩阵吗？有什么根据？或者发链接给我。
下面是我用matlab求Chollesky分解来判断矩阵是否正定，下面是链接
http://blog.sina.com.cn/s/blog_6292266201019yne.html

捕获.PNG
...

4楼。理论证明很简单的。

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学虫dj
23楼2015-11-08 13:10:03
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学虫dj

金虫 (正式写手)
学虫dj: 回帖置顶 2015-11-09 08:54:05
在提问之余我也没闲着，我也在网上找答案。我总结一下
1、当A为方阵的时候，AA‘（就是A本身乘以A的转置）为对称正定矩阵，所以这样的矩阵的特征值应该是非负的。而当A为奇异矩阵的时候，用matlab算出来的特征值就很小的负数，应该近似为零。
2、当A为m*n矩阵的时候即不是方阵时，AA'对实对称矩阵，但不一定是正定的，因此矩阵AA'的特征值应该有负数，而奇异值是不能有负数的。
这样解释，回复的答案就基本上都对了。
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穷则独善其事，达则兼济天下
25楼2015-11-09 08:53:57
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普通回帖

学虫dj

金虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by mygt_hit at 2015-11-06 13:16:10
实对称阵的特征值全为实数、不同特征值对于的特征向量正交，不一定是正的。举个简单例子，负单位阵，特征值为-1.

嗯 你说的很有道理   我百度了一下，也查到了一些结果像你一样的结论  。但是也就证明应该是非负的下面我给你两个截图 你看看这结论是不是矛盾的
为什么我用matlab中的eig函数求实对称矩阵的特征值有负数？？？？
火狐截图_2015-11-08T02-30-14.432Z.png


为什么我用matlab中的eig函数求实对称矩阵的特征值有负数？？？？-1
火狐截图_2015-11-08T02-38-20.034Z.png
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穷则独善其事，达则兼济天下
4楼2015-11-08 10:41:39
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学虫dj

金虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by virtualzx at 2015-11-06 17:23:32
G是不是实矩阵？另外负特征值有多大？
只有实矩阵才能保证G^T.G半正定

1、G是实矩阵，但是里面的元素有正数也有负数。
2、负数的特征很大 ，我查百度的时候也看到，可能是用很小的负数代替了0，但不是这样  我得到的负数很大。
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7楼2015-11-08 10:46:30
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学虫dj

金虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by sk时空 at 2015-11-08 10:44:22
拜托，实对称是实数，正定矩阵才是非负

也就是实对称矩阵的特征值有正数也可以有负数，而正定矩阵的特征值才必须是非负的？
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8楼2015-11-08 10:48:51
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