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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 计算模拟区 » 程序语言 » MATLAB/Mathematica » 为什么我用matlab中的eig函数求实对称矩阵的特征值有负数？？？？
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学虫dj

金虫 (正式写手)
引用回帖:
19楼: Originally posted by clinux at 2015-11-08 11:16:30
你不知道这些负数都是接近于0的吗？

是你不知道还是我不知道？
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穷则独善其事，达则兼济天下
21楼2015-11-08 11:51:16
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mygt_hit

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
学虫dj: 金币+10 2015-11-09 08:45:35
引用回帖:
4楼: Originally posted by 学虫dj at 2015-11-08 10:41:39
嗯 你说的很有道理   我百度了一下，也查到了一些结果像你一样的结论  。但是也就证明应该是非负的下面我给你两个截图 你看看这结论是不是矛盾的

火狐截图_2015-11-08T02-30-14.432Z.png

火狐截图_2015-11-08T02 ...

你给的证据是对的，对于你给的这种特殊的对称阵(形如G’G)，应该是半正定的，即特征值非负。
正定矩阵的定义是符合x'Ax >0的对称阵(也有更广义的定义，定义只符合x'Ax>0的矩阵为正定阵，即去掉了对称性要求)。也就是说正定是比对称更强的条件，对称阵不一定正定，正定阵一定是对称的。对称是正定的必要不充分条件。
正定阵有一些特性：特征值全部大于0，主元全部大于0，顺序主子式全部大于0，还有其他一些信息可以参考维基百科：https://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_matrix

所以如果出现负特征值，很可能是软件算错了。
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知其然，知其所以然。
22楼2015-11-08 12:38:59
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sk时空

新虫 (小有名气)
引用回帖:
20楼: Originally posted by 学虫dj at 2015-11-08 11:19:33
你确定GG’必须为正定矩阵吗？有什么根据？或者发链接给我。
下面是我用matlab求Chollesky分解来判断矩阵是否正定，下面是链接
http://blog.sina.com.cn/s/blog_6292266201019yne.html

捕获.PNG
...

4楼。理论证明很简单的。

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» 本帖已获得的红花（最新10朵）

学虫dj
23楼2015-11-08 13:10:03
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学虫dj

金虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
23楼: Originally posted by sk时空 at 2015-11-08 13:10:03
4楼。理论证明很简单的。
...

怎么能给你金币呢？
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穷则独善其事，达则兼济天下
24楼2015-11-09 08:49:38
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学虫dj

金虫 (正式写手)
学虫dj: 回帖置顶 2015-11-09 08:54:05
在提问之余我也没闲着，我也在网上找答案。我总结一下
1、当A为方阵的时候，AA‘（就是A本身乘以A的转置）为对称正定矩阵，所以这样的矩阵的特征值应该是非负的。而当A为奇异矩阵的时候，用matlab算出来的特征值就很小的负数，应该近似为零。
2、当A为m*n矩阵的时候即不是方阵时，AA'对实对称矩阵，但不一定是正定的，因此矩阵AA'的特征值应该有负数，而奇异值是不能有负数的。
这样解释，回复的答案就基本上都对了。
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穷则独善其事，达则兼济天下
25楼2015-11-09 08:53:57
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mygt_hit

专家顾问 (职业作家)
引用回帖:
25楼: Originally posted by 学虫dj at 2015-11-09 08:53:57
在提问之余我也没闲着，我也在网上找答案。我总结一下
1、当A为方阵的时候，AA‘（就是A本身乘以A的转置）为对称正定矩阵，所以这样的矩阵的特征值应该是非负的。而当A为奇异矩阵的时候，用matlab算出来的特征值就 ...

其实这里还有几个小地方要和你探讨一下。
表述似乎不太严谨。A为方阵时，AA'是半正定矩阵，因为A奇异时，AA'有0特征值。
A为m*n矩阵时，AA'仍为半正定矩阵，其中当A的行向量线性无关时，AA'正定，当A行向量线性相关时，AA‘半正定。
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知其然，知其所以然。
26楼2015-11-09 13:01:22
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