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小浩子王子

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[求助] 求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤已有3人参与

最近看的一本书上说当x<<1时，函数cothx可展开成cothx=1/x*(1+x^2/3-x^4/45+......)
并没有给详细步骤，想了很久也想不出。麻烦大神们给个详细展开步骤。非常感谢！

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1楼 2015-07-22 17:02:44

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终之太刀—晓

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8楼: Originally posted by hank612 at 2015-07-23 11:02:42
请大家有点耐心，文章有点啰嗦（我不知道简洁明快的推导，瀑布汗）

利用\sinh{x}=-i\sin(ix), \int \coth{x}dx=\ln(\sinh{x})+C以及
\sin{x}=x\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})
知道
\coth{x}= ...

Hank612的回复是最佳结果。

本人就只好逐一拆解，写出展开式的前几项出来，供楼主参考：

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小浩子王子

PreferenceforMathematics

9楼2015-07-23 19:43:56

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hank612

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feixiaolin: 金币+10 2015-07-25 22:13:33
feixiaolin: 金币+10, 2015-07 数学版应助金币奖励 2015-08-02 15:29:11

引用回帖:

9楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-07-23 19:43:56
Hank612的回复是最佳结果。

本人就只好逐一拆解，写出展开式的前几项出来，供楼主参考：

1.png

2.png

3.png
...

看了终之太刀—晓的计算过程，豁然开朗，终于有了简洁明快的证明（或说明）

终之太刀—晓给出了如下表达式：
$x\coth{x}=x+\frac{2x}{e^{2x}-1}$

https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number
根据Bernoulli数的定义
$\frac{t}{e^t-1}=\sum_{m=0}^{\infty}B_m\frac{t^m}{m!}=1-\frac{1}{2}t+\sum_{m=1}^{\infty}B_{2m}\frac{t^{2m}}{(2m)!}$

不用经过任何计算，直接看出
$\coth{x}=\frac{1}{x}+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2^{2m}B_{2m}}{(2m)!}x^{2m-1}$

这无形中再次验证了我敬佩的导师的一句话：数学，无非定义而已。

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We_must_know. We_will_know.

10楼2015-07-23 23:14:50

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bluesine

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【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小浩子王子(feixiaolin代发): 金币+1 2015-07-23 11:56:19

$coth(x)=\frac{exp(x)+exp(-x)}{exp(x)-exp(-x)} exp(x) =1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+... exp(-x)=1-x+x^2/2-x^3/6+x^4/24+...$
代进去计算就得到了

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板凳要做十年冷文章不发一个字

2楼2015-07-22 17:13:37

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【答案】应助回帖

★
小浩子王子(feixiaolin代发): 金币+1 2015-07-23 11:56:23

分子只保留到o(x),因为x项系数为0，所以分子为2
分母展开到你想要的项，然后2可以约掉。。。就得到你要的结果

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板凳要做十年冷文章不发一个字

3楼2015-07-22 17:25:04

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2楼: Originally posted by bluesine at 2015-07-22 17:13:37
http://latex.codecogs.com/gif.latex?coth(x)=\frac{exp(x)+exp(-x)}{exp(x)-exp(-x)}&space;exp(x)&space;=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+...&spac ...

带进去不对啊，得到的式子分子为2+x^2+x^4/12,分母为2x+x^3/3+x^5/160.化不到正确答案啊

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4楼2015-07-22 17:29:47

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小浩子王子

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3楼: Originally posted by bluesine at 2015-07-22 17:25:04
分子只保留到o(x),因为x项系数为0，所以分子为2
分母展开到你想要的项，然后2可以约掉。。。就得到你要的结果

按你后来说的思路试了下，化出来感觉还是不对。答案中还有减号，我这个里面分母中全是加号。下面是我化出来的样子

截图20150722173134.png

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5楼2015-07-22 17:41:23

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peterflyer

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【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小浩子王子(feixiaolin代发): 金币+1 2015-07-23 11:56:33

分子分母先按照exp(x)和exp(-x)进行泰勒展开，此时分母中为2*x*sum{1/(2*n+1)!*x^(2*n+1),n=0~∞}；而分子中为2*sum{1/(2*n)!*x^(2*n),n=0~∞}；此后再按照1/(1-u)=1-u+u^2-u^3+u^4-......进行展开即可。

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6楼2015-07-22 21:58:58

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bluesine

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5楼: Originally posted by 小浩子王子 at 2015-07-22 17:41:23
按你后来说的思路试了下，化出来感觉还是不对。答案中还有减号，我这个里面分母中全是加号。下面是我化出来的样子

截图20150722173134.png
...

你的分母算错了，一看就算错。。对你很无语啊。。认真点亲，数学计算得耐心，这个别人帮不了你

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7楼2015-07-23 09:26:08

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hank612

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小浩子王子(feixiaolin代发): 金币+17 2015-07-23 11:55:57
feixiaolin: 数学EPI+1, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=9452448&fpage=1 EPI 2015-10-03 08:09:03

请大家有点耐心，文章有点啰嗦（我不知道简洁明快的推导，瀑布汗）

利用 $\sinh{x}=-i\sin(ix)$ , $\int \coth{x}dx=\ln(\sinh{x})+C$ 以及
$\sin{x}=x\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})$
知道
$\coth{x}=\frac{d}{dx}\ln(-i\cdot ix \cdot \prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{(ix)^2}{n^2 \pi^2}))=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\frac{2x}{n^2\pi^2}}{1+\frac{x^2}{n^2\pi^2}}$

因此 $\coth{x}-\frac{1}{x}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2x}{n^2\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}(-\frac{x^2}{n^2\pi^2})^k=\sum_{m=1}^{\infty}x^{2m-1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{m-1}}{(n\pi)^{2m}}$

利用 http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=8093491 里面的公式，立得 $x^{2m-1}$ 的系数为 $\frac{2(-1)^{m-1}\zeta(2m)}{\pi^{2m}}=\frac{2^{2m}B_{2m}}{(2m)!}$

大家给出的是计算方法，可以轻松得到前面几项

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We_must_know. We_will_know.

8楼2015-07-23 11:02:42

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