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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤
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小浩子王子

新虫 (小有名气)

[求助] 求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤 已有3人参与

最近看的一本书上说当x<<1时，函数cothx可展开成cothx=1/x*(1+x^2/3-x^4/45+......)
并没有给详细步骤，想了很久也想不出。麻烦大神们给个详细展开步骤。非常感谢！
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1楼 2015-07-22 17:02:44
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
引用回帖:
8楼: Originally posted by hank612 at 2015-07-23 11:02:42
请大家有点耐心，文章有点啰嗦 （我不知道简洁明快的推导，瀑布汗）

利用\sinh{x}=-i\sin(ix), \int \coth{x}dx=\ln(\sinh{x})+C以及
\sin{x}=x\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})
知道
\coth{x}= ...

Hank612的回复是最佳结果。
本人就只好逐一拆解，写出展开式的前几项出来，供楼主参考：
求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤
1.png


求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤-1
2.png


求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤-2
3.png
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小浩子王子
PreferenceforMathematics
9楼2015-07-23 19:43:56
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
feixiaolin: 金币+10 2015-07-25 22:13:33
feixiaolin: 金币+10, 2015-07 数学版应助金币奖励 2015-08-02 15:29:11
引用回帖:
9楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-07-23 19:43:56
Hank612的回复是最佳结果。
本人就只好逐一拆解，写出展开式的前几项出来，供楼主参考：

1.png

2.png

3.png
...

看了 终之太刀—晓 的计算过程，豁然开朗，终于有了简洁明快的 证明（或说明）

终之太刀—晓 给出了如下表达式：


https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number
根据Bernoulli数的定义


不用经过任何计算，直接看出


这无形中再次验证了我敬佩的导师的一句话：数学，无非定义而已。
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We_must_know. We_will_know.
10楼2015-07-23 23:14:50
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普通回帖

bluesine

至尊木虫 (职业作家)

科苑小木虫

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小浩子王子(feixiaolin代发): 金币+1 2015-07-23 11:56:19

代进去计算就得到了
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板凳要做十年冷文章不发一个字
2楼2015-07-22 17:13:37
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bluesine

至尊木虫 (职业作家)

科苑小木虫

【答案】应助回帖

★
小浩子王子(feixiaolin代发): 金币+1 2015-07-23 11:56:23
分子只保留到o(x),因为x项系数为0，所以分子为2
分母展开到你想要的项，然后2可以约掉。。。就得到你要的结果
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板凳要做十年冷文章不发一个字
3楼2015-07-22 17:25:04
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小浩子王子

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by bluesine at 2015-07-22 17:13:37
http://latex.codecogs.com/gif.latex?coth(x)=\frac{exp(x)&plus;exp(-x)}{exp(x)-exp(-x)}&space;exp(x)&space;=1&plus;x&plus;x^2/2&plus;x^3/6&plus;x^4/24&plus;...&spac ...

带进去不对啊，得到的式子分子为2+x^2+x^4/12,分母为2x+x^3/3+x^5/160.化不到正确答案啊
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4楼2015-07-22 17:29:47
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小浩子王子

新虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by bluesine at 2015-07-22 17:25:04
分子只保留到o(x),因为x项系数为0，所以分子为2
分母展开到你想要的项，然后2可以约掉。。。就得到你要的结果

按你后来说的思路试了下，化出来感觉还是不对。答案中还有减号，我这个里面分母中全是加号。下面是我化出来的样子
求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤-3
截图20150722173134.png
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5楼2015-07-22 17:41:23
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小浩子王子(feixiaolin代发): 金币+1 2015-07-23 11:56:33
分子分母先按照exp(x)和exp(-x)进行泰勒展开，此时分母中为2*x*sum{1/(2*n+1)!*x^(2*n+1),n=0~∞}；而分子中为2*sum{1/(2*n)!*x^(2*n),n=0~∞}；此后再按照1/(1-u)=1-u+u^2-u^3+u^4-......进行展开即可。
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6楼2015-07-22 21:58:58
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bluesine

至尊木虫 (职业作家)

科苑小木虫

【答案】应助回帖

引用回帖:
5楼: Originally posted by 小浩子王子 at 2015-07-22 17:41:23
按你后来说的思路试了下，化出来感觉还是不对。答案中还有减号，我这个里面分母中全是加号。下面是我化出来的样子

截图20150722173134.png
...

你的分母算错了，一看就算错。。对你很无语啊。。认真点亲，数学计算得耐心，这个别人帮不了你
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板凳要做十年冷文章不发一个字
7楼2015-07-23 09:26:08
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
小浩子王子(feixiaolin代发): 金币+17 2015-07-23 11:55:57
feixiaolin: 数学EPI+1, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=9452448&fpage=1 EPI 2015-10-03 08:09:03
请大家有点耐心，文章有点啰嗦 （我不知道简洁明快的推导，瀑布汗）

利用, 以及

知道


因此

利用 http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=8093491 里面的公式，立得的系数为

大家给出的是计算方法，可以轻松得到前面几项
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We_must_know. We_will_know.
8楼2015-07-23 11:02:42
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