应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜    

小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤
111/2返回列表12下一页
查看: 8797  |  回复: 10
只看楼主 @他人 存档 新回复提醒 (忽略) 收藏    在APP中查看
本帖产生 1 个 数学EPI ，点击这里进行查看

小浩子王子

新虫 (小有名气)

[求助] 求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤 已有3人参与

最近看的一本书上说当x<<1时，函数cothx可展开成cothx=1/x*(1+x^2/3-x^4/45+......)
并没有给详细步骤，想了很久也想不出。麻烦大神们给个详细展开步骤。非常感谢！
回复此楼

» 猜你喜欢
1楼 2015-07-22 17:02:44
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
回帖置顶 ( 共有1个 )

hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
小浩子王子(feixiaolin代发): 金币+17 2015-07-23 11:55:57
feixiaolin: 数学EPI+1, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=9452448&fpage=1 EPI 2015-10-03 08:09:03
请大家有点耐心，文章有点啰嗦 （我不知道简洁明快的推导，瀑布汗）

利用, 以及

知道


因此

利用 http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=8093491 里面的公式，立得的系数为

大家给出的是计算方法，可以轻松得到前面几项
赞一下 回复此楼
We_must_know. We_will_know.
8楼2015-07-23 11:02:42
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
引用回帖:
8楼: Originally posted by hank612 at 2015-07-23 11:02:42
请大家有点耐心，文章有点啰嗦 （我不知道简洁明快的推导，瀑布汗）

利用\sinh{x}=-i\sin(ix), \int \coth{x}dx=\ln(\sinh{x})+C以及
\sin{x}=x\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})
知道
\coth{x}= ...

Hank612的回复是最佳结果。
本人就只好逐一拆解，写出展开式的前几项出来，供楼主参考：
求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤
1.png


求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤-1
2.png


求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤-2
3.png
赞一下(1人) 回复此楼

» 本帖已获得的红花（最新10朵）

小浩子王子
PreferenceforMathematics
9楼2015-07-23 19:43:56
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
feixiaolin: 金币+10 2015-07-25 22:13:33
feixiaolin: 金币+10, 2015-07 数学版应助金币奖励 2015-08-02 15:29:11
引用回帖:
9楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-07-23 19:43:56
Hank612的回复是最佳结果。
本人就只好逐一拆解，写出展开式的前几项出来，供楼主参考：

1.png

2.png

3.png
...

看了 终之太刀—晓 的计算过程，豁然开朗，终于有了简洁明快的 证明（或说明）

终之太刀—晓 给出了如下表达式：


https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number
根据Bernoulli数的定义


不用经过任何计算，直接看出


这无形中再次验证了我敬佩的导师的一句话：数学，无非定义而已。
赞一下(1人) 回复此楼
We_must_know. We_will_know.
10楼2015-07-23 23:14:50
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
普通回帖

bluesine

至尊木虫 (职业作家)

科苑小木虫

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小浩子王子(feixiaolin代发): 金币+1 2015-07-23 11:56:19

代进去计算就得到了
赞一下 回复此楼
板凳要做十年冷文章不发一个字
2楼2015-07-22 17:13:37
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

bluesine

至尊木虫 (职业作家)

科苑小木虫

【答案】应助回帖

★
小浩子王子(feixiaolin代发): 金币+1 2015-07-23 11:56:23
分子只保留到o(x),因为x项系数为0，所以分子为2
分母展开到你想要的项，然后2可以约掉。。。就得到你要的结果
赞一下 回复此楼
板凳要做十年冷文章不发一个字
3楼2015-07-22 17:25:04
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

小浩子王子

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by bluesine at 2015-07-22 17:13:37
http://latex.codecogs.com/gif.latex?coth(x)=\frac{exp(x)&plus;exp(-x)}{exp(x)-exp(-x)}&space;exp(x)&space;=1&plus;x&plus;x^2/2&plus;x^3/6&plus;x^4/24&plus;...&spac ...

带进去不对啊，得到的式子分子为2+x^2+x^4/12,分母为2x+x^3/3+x^5/160.化不到正确答案啊
赞一下 回复此楼
4楼2015-07-22 17:29:47
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

小浩子王子

新虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by bluesine at 2015-07-22 17:25:04
分子只保留到o(x),因为x项系数为0，所以分子为2
分母展开到你想要的项，然后2可以约掉。。。就得到你要的结果

按你后来说的思路试了下，化出来感觉还是不对。答案中还有减号，我这个里面分母中全是加号。下面是我化出来的样子
求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤-3
截图20150722173134.png
赞一下 回复此楼
5楼2015-07-22 17:41:23
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小浩子王子(feixiaolin代发): 金币+1 2015-07-23 11:56:33
分子分母先按照exp(x)和exp(-x)进行泰勒展开，此时分母中为2*x*sum{1/(2*n+1)!*x^(2*n+1),n=0~∞}；而分子中为2*sum{1/(2*n)!*x^(2*n),n=0~∞}；此后再按照1/(1-u)=1-u+u^2-u^3+u^4-......进行展开即可。
赞一下 回复此楼
6楼2015-07-22 21:58:58
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

bluesine

至尊木虫 (职业作家)

科苑小木虫

【答案】应助回帖

引用回帖:
5楼: Originally posted by 小浩子王子 at 2015-07-22 17:41:23
按你后来说的思路试了下，化出来感觉还是不对。答案中还有减号，我这个里面分母中全是加号。下面是我化出来的样子

截图20150722173134.png
...

你的分母算错了，一看就算错。。对你很无语啊。。认真点亲，数学计算得耐心，这个别人帮不了你
赞一下 回复此楼
板凳要做十年冷文章不发一个字
7楼2015-07-23 09:26:08
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
相关版块跳转 我要订阅楼主 小浩子王子 的主题更新
111/2返回列表12下一页
普通表情 龙 兔 虎 猫
最具人气热帖推荐 [查看全部] 作者 回/看 最后发表
[基金申请] 人气不行了 +10 fansofjerry 2026-08-21 10/500 2026-08-24 21:03 by zhanghaozhu
[基金申请] 如果此刻你正在为国基感到焦虑，不妨来听听这首《基金之外》 +6 scalable 2026-08-24 6/300 2026-08-24 20:28 by 苦寒来香
[基金申请] 我面上完蛋了 +9 且听虎啸 2026-08-20 10/500 2026-08-24 20:08 by 苦寒来香
[基金申请] filecode，4个jtjc了 +14 ziyangfang 2026-08-19 17/850 2026-08-24 18:37 by 哈哈蛤？
[基金申请] 2026国自然函评费到账 +17 羊腰板 2026-08-21 19/950 2026-08-24 16:52 by iaeyuan
[基金申请] 建议基金发布提前给出明确的时间点 +13 kulium 2026-08-21 16/800 2026-08-24 16:27 by superceng
[基金申请] 今日不放榜？网传国自然预计 8 月 27 日可查结果 +17 医学老男孩 2026-08-20 21/1050 2026-08-24 14:21 by refreshing11
[基金申请] 范进中举一文的中心思想 +6 炎黄贵胄 2026-08-22 7/350 2026-08-24 11:58 by 6543yes
[基金申请] 放榜前的不淡定 20+4 snowwithsea 2026-08-19 17/850 2026-08-24 10:20 by echo8914667
[基金申请] 科研孤儿太难了 +18 我4大白菜 2026-08-20 19/950 2026-08-24 09:47 by 凯恩广盛催化分�
[基金申请] 什么时候开奖？ +10 CrisMessi 2026-08-18 11/550 2026-08-24 06:50 by 开心的小狮子
[教师之家] 跳槽后在研项目怎么办？ +5 简单化xn 2026-08-22 10/500 2026-08-23 12:38 by 简单化xn
[基金申请] 今天放榜吗？ +15 布布和一二 2026-08-19 16/800 2026-08-23 09:55 by 张春生
[基金申请] 只有每年这种时候来逛逛小木虫 +24 yaoyewhu2008 2026-08-20 26/1300 2026-08-22 17:43 by kammury
[基金申请] 今天基金会出结果吗？20260819 +16 kkkl_v 2026-08-19 17/850 2026-08-22 16:12 by 阿布Abu
[基金申请] 看来今天不会放榜了？ +8 chengyan1220 2026-08-21 11/550 2026-08-21 17:52 by dcqxinyang
[基金申请] 时间戳又变了 +13 wuchongjun 2026-08-20 19/950 2026-08-21 17:21 by 紫杉醇
[基金申请] 应该是下周三26日公布了吧？ +4 哈哈蛤？ 2026-08-21 4/200 2026-08-21 10:58 by Vivilian
[基金申请] 重要消息，中午系统在维护 +11 yuleib84 2026-08-18 12/600 2026-08-20 11:09 by xskun
[基金申请] 今天维护系统维护 祝所有人 高中 +8 gjjjzhong 2026-08-18 9/450 2026-08-18 13:01 by 家与远方
信息提示
关闭
请填处理意见
关闭