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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤
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小浩子王子

新虫 (小有名气)

[求助] 求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤 已有3人参与

最近看的一本书上说当x<<1时，函数cothx可展开成cothx=1/x*(1+x^2/3-x^4/45+......)
并没有给详细步骤，想了很久也想不出。麻烦大神们给个详细展开步骤。非常感谢！
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1楼 2015-07-22 17:02:44
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
引用回帖:
8楼: Originally posted by hank612 at 2015-07-23 11:02:42
请大家有点耐心，文章有点啰嗦 （我不知道简洁明快的推导，瀑布汗）

利用\sinh{x}=-i\sin(ix), \int \coth{x}dx=\ln(\sinh{x})+C以及
\sin{x}=x\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})
知道
\coth{x}= ...

Hank612的回复是最佳结果。
本人就只好逐一拆解，写出展开式的前几项出来，供楼主参考：
求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤
1.png


求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤-1
2.png


求助：将双曲函数cothx展开成幂级数的详细步骤-2
3.png
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小浩子王子
PreferenceforMathematics
9楼2015-07-23 19:43:56
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bluesine

至尊木虫 (职业作家)

科苑小木虫

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小浩子王子(feixiaolin代发): 金币+1 2015-07-23 11:56:19

代进去计算就得到了
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板凳要做十年冷文章不发一个字
2楼2015-07-22 17:13:37
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bluesine

至尊木虫 (职业作家)

科苑小木虫

【答案】应助回帖

★
小浩子王子(feixiaolin代发): 金币+1 2015-07-23 11:56:23
分子只保留到o(x),因为x项系数为0，所以分子为2
分母展开到你想要的项，然后2可以约掉。。。就得到你要的结果
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板凳要做十年冷文章不发一个字
3楼2015-07-22 17:25:04
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小浩子王子

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by bluesine at 2015-07-22 17:13:37
http://latex.codecogs.com/gif.latex?coth(x)=\frac{exp(x)&plus;exp(-x)}{exp(x)-exp(-x)}&space;exp(x)&space;=1&plus;x&plus;x^2/2&plus;x^3/6&plus;x^4/24&plus;...&spac ...

带进去不对啊，得到的式子分子为2+x^2+x^4/12,分母为2x+x^3/3+x^5/160.化不到正确答案啊
赞一下 回复此楼
4楼2015-07-22 17:29:47
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