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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
小浩子王子(feixiaolin代发): 金币+17 2015-07-23 11:55:57
feixiaolin: 数学EPI+1, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=9452448&fpage=1 EPI 2015-10-03 08:09:03

请大家有点耐心，文章有点啰嗦（我不知道简洁明快的推导，瀑布汗）

利用 $\sinh{x}=-i\sin(ix)$ , $\int \coth{x}dx=\ln(\sinh{x})+C$ 以及
$\sin{x}=x\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})$
知道
$\coth{x}=\frac{d}{dx}\ln(-i\cdot ix \cdot \prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{(ix)^2}{n^2 \pi^2}))=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\frac{2x}{n^2\pi^2}}{1+\frac{x^2}{n^2\pi^2}}$

因此 $\coth{x}-\frac{1}{x}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2x}{n^2\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}(-\frac{x^2}{n^2\pi^2})^k=\sum_{m=1}^{\infty}x^{2m-1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{m-1}}{(n\pi)^{2m}}$

利用 http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=8093491 里面的公式，立得 $x^{2m-1}$ 的系数为 $\frac{2(-1)^{m-1}\zeta(2m)}{\pi^{2m}}=\frac{2^{2m}B_{2m}}{(2m)!}$

大家给出的是计算方法，可以轻松得到前面几项

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We_must_know. We_will_know.

8楼2015-07-23 11:02:42

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