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etreeasky

新虫 (初入文坛)


[交流] [探讨] 相互正交的exp(ipr)函数的总个数为阿列夫2

【注:首先声明上述语言表达是不严谨的,笔者本来的意思是想探讨‘在Hilbert空间定义下,以正交exp(ipr)函数为基底的系统的维度为阿列夫2’,但是遗憾的是Hilbert空间对问题所涉及的δ函数等广义函数的内积无定义、对exp(ipr)函数的内积也无定义。所以只能无奈不严谨的表达上述命题。严谨的表达可能只能等到某位数学大师扩展到‘广义Hilbert空间’以后吧。】

下面让我们一步一步粗略探讨,相互正交exp(ipr)函数最多会有多少个?
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新虫 (初入文坛)


(1)当exp(ipr)函数的变量整数取值时,相互正交exp(ipr)函数的个数为阿列夫0
【 证明一:

取xm和xn ,其中m、n为整数

则:∫exp(ip)^xn exp(-ip)^xm dp

相当于计算两个exp(ipx)的乘积

又由于exp(ipx)可以转换为三角函数:



所以exp(ipx)的正交性,对应于三角函数的正交关系


即:m不等于n时的exp(ip xm)和exp(ip xn)两两内积为0

所以,两两不同的exp(ip)^xn  和exp(ip)^xm正交

又因为, 整数变量xn与函数exp(ip)^xn 对应,所以不同整数取值的exp(ip)^xn函数个数为阿列夫0

即,不同整数取值的两两正交的exp(ip)^xn 函数个数为阿列夫0 】
2楼2015-03-31 16:10:32
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etreeasky

新虫 (初入文坛)


【证明二:

因为



根据欧拉公式:



可知,整数不同取值的 k、m的exp(ikt)函数 和exp(imt)函数两两正交

又因为, 整数变量k与函数exp(ikt)对应,所以不同整数取值的exp(ikt)函数个数为阿列夫0

即,不同整数取值的两两正交的exp(ikt) 函数个数为阿列夫0 】
3楼2015-03-31 16:17:33
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新虫 (初入文坛)


(2)当exp(ipr)函数的变量实数连续取值时,相互正交exp(ipr)函数的个数为阿列夫1

【证明如下:



可知,连续不同取值的x的exp(ipx)函数两两正交】
4楼2015-03-31 16:19:37
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etreeasky

新虫 (初入文坛)


【注:上面这个证明对于Hilbert内积空间而言是不严谨的,因为exp(ipx)不是平方可积函数、不存在于Hilbert内积空间。但是基于下面两个事实,判定变量x连续不同取值的exp(ipx)函数两两正交并无不妥:



第一、exp(ipx) 是某类线性系统的基底

[定律:exp(ipx) 是所有线性时不变系统的共同本征函数系 ]  

[证明:

设L是任意线性时不变系统,v是输入,w是输出

即 w=Lv

  则 w(x)=h(x)*v(x) ,即w可以表达成h和v的卷积

  上式傅里叶变换记为:

  W(s)=H(s)V(s)

  如果输入exp(ipx)    [注:为方便表述,exp(ipx) 省略了常数项2π ]

即 v(x)= exp(ipx)   

  因为exp(ipx)的傅里叶变换等于脉冲函数δ(x-p)  

  则输出:W(s)=H(s)δ(s-p)=H(x)δ(x-p)    [注:此处H(x)是个常数]

  再通过傅里叶反变换,把上式从频域返回到时域,得到:

  w(x)=H(x) exp(ipx)

  此处H(x)是个常数,记为c,则:

  w(x)= c exp(ipx)

  即:输入exp(ipx) ,通过L线性时不变系统w=Lv,输出得到 c exp(ipx)

  即:L exp(ipx) = c exp(ipx)    [注: L作用在exp(ipx) 等于常数乘以exp(ipx) ]



  即: exp(ipx) 是任意线性时不变系统L的本征函数

  证毕。]








第二、exp(ipx) 满足狄拉克正交性质



5楼2015-03-31 16:21:43
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etreeasky

新虫 (初入文坛)


(3)当exp(ipr)函数的变量完备取值时,相互正交exp(ipr)函数的个数为阿列夫2

【探讨:
(步骤一)
6楼2015-03-31 16:26:16
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新虫 (初入文坛)


【注:上面这个证明对于Hilbert内积空间而言是不严谨的,因为δ函数等广义函数不是平方可积函数、不存在于Hilbert内积空间。但是基于下面两个事实,判定变量不同取值的δ广义函数两两正交并无不妥:

第一、δ广义函数是某类线性系统的基底
[定律:δ广义函数是所有线性时不变系统的共同本征函数系 ]  
[δ广义函数和exp(ipx)函数一样,都是基元函数,都是线性时不变系统的本征函数]


第二、不同延时δ(t-r)函数的乘积积分 与通常意义的内积的正交性质不冲突
[ 说明:
∫δ(t-r)δ(t-p)dt 如果形象类比离散的西格玛符号形式,如下:

∑δ(tn-r)δ(tn-p) = 0+0+0+......+ δ(r-r)*δ(r-p)+......+ δ(p-r)*δ(p-p)+......+ 0+0+0.....



即,当tn<>r(或tn<>p)时,各分项均为零

即,仅剩tn=r(或tn=p)时,δ(r-r)*δ(r-p) 和 δ(p-r)*δ(p-p) 可能不为零



又因为,δ与x 的分布积等于零,即 xδ(x)=0

所以,δ(r-r)*δ(r-p)=0

        δ(p-r)*δ(p-p)=0





所以,∑δ(tn-r)δ(tn-p) = 0
]
7楼2015-03-31 16:27:48
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dmbb8楼
2015-04-05 16:28   回复  
etreeasky(金币+1): 谢谢参与
mtw9229楼
2015-04-05 16:35   回复  
etreeasky(金币+1): 谢谢参与
tzynew10楼
2015-04-06 08:20   回复  
etreeasky(金币+1): 谢谢参与
34658589011楼
2015-04-06 08:20   回复  
etreeasky(金币+1): 谢谢参与
2015-04-06 08:23   回复  
etreeasky(金币+1): 谢谢参与
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