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[交流]
[探讨] 相互正交的exp(ipr)函数的总个数为阿列夫2
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【注：首先声明上述语言表达是不严谨的，笔者本来的意思是想探讨‘在Hilbert空间定义下，以正交exp(ipr)函数为基底的系统的维度为阿列夫2’，但是遗憾的是Hilbert空间对问题所涉及的δ函数等广义函数的内积无定义、对exp(ipr)函数的内积也无定义。所以只能无奈不严谨的表达上述命题。严谨的表达可能只能等到某位数学大师扩展到‘广义Hilbert空间’以后吧。】 下面让我们一步一步粗略探讨，相互正交exp(ipr)函数最多会有多少个？ |
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（1）当exp(ipr)函数的变量整数取值时，相互正交exp(ipr)函数的个数为阿列夫0 【 证明一： 取xm和xn ，其中m、n为整数 则：∫exp(ip)^xn exp(-ip)^xm dp 相当于计算两个exp(ipx）的乘积 又由于exp(ipx）可以转换为三角函数：  所以exp(ipx)的正交性，对应于三角函数的正交关系  即：m不等于n时的exp(ip xm)和exp(ip xn)两两内积为0 所以，两两不同的exp(ip)^xn 和exp(ip)^xm正交 又因为， 整数变量xn与函数exp(ip)^xn 对应，所以不同整数取值的exp(ip)^xn函数个数为阿列夫0 即，不同整数取值的两两正交的exp(ip)^xn 函数个数为阿列夫0 】 |
2楼2015-03-31 16:10:32
3楼2015-03-31 16:17:33
4楼2015-03-31 16:19:37
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【注：上面这个证明对于Hilbert内积空间而言是不严谨的，因为exp(ipx)不是平方可积函数、不存在于Hilbert内积空间。但是基于下面两个事实，判定变量x连续不同取值的exp(ipx)函数两两正交并无不妥： 第一、exp(ipx) 是某类线性系统的基底 [定律：exp(ipx) 是所有线性时不变系统的共同本征函数系 ] [证明： 设L是任意线性时不变系统，v是输入，w是输出 即 w=Lv 则 w(x)=h(x)*v(x) ，即w可以表达成h和v的卷积 上式傅里叶变换记为: W(s)=H(s)V(s) 如果输入exp(ipx) [注：为方便表述，exp(ipx) 省略了常数项2π ] 即 v（x）= exp(ipx) 因为exp(ipx)的傅里叶变换等于脉冲函数δ(x-p) 则输出：W(s)=H(s)δ(s-p)=H(x)δ(x-p) [注：此处H(x)是个常数] 再通过傅里叶反变换，把上式从频域返回到时域，得到： w(x)=H(x) exp(ipx) 此处H(x)是个常数，记为c，则： w(x)= c exp(ipx) 即：输入exp(ipx) ，通过L线性时不变系统w=Lv，输出得到 c exp(ipx) 即：L exp(ipx) = c exp(ipx) [注： L作用在exp(ipx) 等于常数乘以exp(ipx) ] 即： exp(ipx) 是任意线性时不变系统L的本征函数 证毕。] 第二、exp(ipx) 满足狄拉克正交性质  】 |
5楼2015-03-31 16:21:43
6楼2015-03-31 16:26:16
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【注：上面这个证明对于Hilbert内积空间而言是不严谨的，因为δ函数等广义函数不是平方可积函数、不存在于Hilbert内积空间。但是基于下面两个事实，判定变量不同取值的δ广义函数两两正交并无不妥： 第一、δ广义函数是某类线性系统的基底 [定律：δ广义函数是所有线性时不变系统的共同本征函数系 ] [δ广义函数和exp(ipx)函数一样，都是基元函数，都是线性时不变系统的本征函数] 第二、不同延时δ(t-r)函数的乘积积分 与通常意义的内积的正交性质不冲突 [ 说明： ∫δ(t-r)δ(t-p)dt 如果形象类比离散的西格玛符号形式，如下： ∑δ(tn-r)δ(tn-p) = 0+0+0+......+ δ(r-r)*δ(r-p)+......+ δ(p-r)*δ(p-p)+......+ 0+0+0..... 即，当tn<>r（或tn<>p）时，各分项均为零 即，仅剩tn=r（或tn=p）时，δ(r-r)*δ(r-p) 和 δ(p-r)*δ(p-p) 可能不为零 又因为，δ与x 的分布积等于零，即 xδ(x)=0 所以，δ(r-r)*δ(r-p)=0 δ(p-r)*δ(p-p)=0 所以，∑δ(tn-r)δ(tn-p) = 0 ] |
7楼2015-03-31 16:27:48