| 查看: 1030 | 回复: 11 | |||
[交流]
[探讨] 相互正交的exp(ipr)函数的总个数为阿列夫2
|
|||
|
【注：首先声明上述语言表达是不严谨的，笔者本来的意思是想探讨‘在Hilbert空间定义下，以正交exp(ipr)函数为基底的系统的维度为阿列夫2’，但是遗憾的是Hilbert空间对问题所涉及的δ函数等广义函数的内积无定义、对exp(ipr)函数的内积也无定义。所以只能无奈不严谨的表达上述命题。严谨的表达可能只能等到某位数学大师扩展到‘广义Hilbert空间’以后吧。】 下面让我们一步一步粗略探讨，相互正交exp(ipr)函数最多会有多少个？ |
回复此楼» 猜你喜欢
最近几年招的学生写论文不引自己组发的文章
已经有5人回复
-
职称评审没过，求安慰
已经有54人回复
-
26申博自荐
已经有3人回复
-
A期刊撤稿
已经有4人回复
» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:
- 【命题】全体exp(ipr)函数集合的空间维度为阿列夫2
已经有6人回复
- 求助用origin自带的ExpAssoc函数进行非线性拟合
已经有8人回复
- 求matlab画一个函数的图
已经有6人回复
- 一个log-det-sum-exp-matrix函数的凸性研究问题
已经有6人回复
» 抢金币啦！回帖就可以得到:
-
郑州大学招收2026年外科学博士研究生
+1/461
-
DIY科研工具交流
+1/210
-
湖北大学食品安全研究团队诚招博士后
+1/182
-
【宁德时代招聘】AI 物理学家
+1/176
-
湖南师范大学蒋乐勇教授课题组招收2026届“申请-考核”制博士生
+1/175
-
《春节催婚季，90后男生在线“招募”战友，一起过个轻松年》
+1/154
-
接样SEM/XPS/XRD/FTIR/BET等多种测试/提供预存服务
+1/86
-
Analytical Science Advances（Wiley出版社）长期征稿中...
+1/86
-
功能陶瓷材料和无机粉体合成博士后招聘启事
+1/80
-
宁波大学招收力学专业（表面工程方向）2026年博士生2名（申请-考核制）
+1/55
-
重庆大学杰青团队诚招2026年博士研究生
+2/42
-
山东大学集成电路学院博士招生1名
+1/14
-
口腔健康的标准
+1/12
-
新加坡南洋理工大学材料科学与工程学院招收博士研究生 (2026年8月入学)
+1/6
-
诚邀博士后合作研究人员
+1/4
-
同济大学电信学院，肖李课题组预招2027春季与秋季博士生。
+1/3
-
山东大学集成电路学院博士招生1名
+1/3
-
只是简单记录
+1/3
-
南京大学FinTech大模型实验室招募斯坦福国际联培博士生（2026）
+1/1
-
中国科大电池方向任晓迪课题组招收2026级博士生-电解液/电池安全性/人工智能方向
+1/1
|
（1）当exp(ipr)函数的变量整数取值时，相互正交exp(ipr)函数的个数为阿列夫0 【 证明一： 取xm和xn ，其中m、n为整数 则：∫exp(ip)^xn exp(-ip)^xm dp 相当于计算两个exp(ipx）的乘积 又由于exp(ipx）可以转换为三角函数：  所以exp(ipx)的正交性，对应于三角函数的正交关系  即：m不等于n时的exp(ip xm)和exp(ip xn)两两内积为0 所以，两两不同的exp(ip)^xn 和exp(ip)^xm正交 又因为， 整数变量xn与函数exp(ip)^xn 对应，所以不同整数取值的exp(ip)^xn函数个数为阿列夫0 即，不同整数取值的两两正交的exp(ip)^xn 函数个数为阿列夫0 】 |
2楼2015-03-31 16:10:32
3楼2015-03-31 16:17:33
4楼2015-03-31 16:19:37
|
【注：上面这个证明对于Hilbert内积空间而言是不严谨的，因为exp(ipx)不是平方可积函数、不存在于Hilbert内积空间。但是基于下面两个事实，判定变量x连续不同取值的exp(ipx)函数两两正交并无不妥： 第一、exp(ipx) 是某类线性系统的基底 [定律：exp(ipx) 是所有线性时不变系统的共同本征函数系 ] [证明： 设L是任意线性时不变系统，v是输入，w是输出 即 w=Lv 则 w(x)=h(x)*v(x) ，即w可以表达成h和v的卷积 上式傅里叶变换记为: W(s)=H(s)V(s) 如果输入exp(ipx) [注：为方便表述，exp(ipx) 省略了常数项2π ] 即 v（x）= exp(ipx) 因为exp(ipx)的傅里叶变换等于脉冲函数δ(x-p) 则输出：W(s)=H(s)δ(s-p)=H(x)δ(x-p) [注：此处H(x)是个常数] 再通过傅里叶反变换，把上式从频域返回到时域，得到： w(x)=H(x) exp(ipx) 此处H(x)是个常数，记为c，则： w(x)= c exp(ipx) 即：输入exp(ipx) ，通过L线性时不变系统w=Lv，输出得到 c exp(ipx) 即：L exp(ipx) = c exp(ipx) [注： L作用在exp(ipx) 等于常数乘以exp(ipx) ] 即： exp(ipx) 是任意线性时不变系统L的本征函数 证毕。] 第二、exp(ipx) 满足狄拉克正交性质  】 |
5楼2015-03-31 16:21:43
6楼2015-03-31 16:26:16
|
【注：上面这个证明对于Hilbert内积空间而言是不严谨的，因为δ函数等广义函数不是平方可积函数、不存在于Hilbert内积空间。但是基于下面两个事实，判定变量不同取值的δ广义函数两两正交并无不妥： 第一、δ广义函数是某类线性系统的基底 [定律：δ广义函数是所有线性时不变系统的共同本征函数系 ] [δ广义函数和exp(ipx)函数一样，都是基元函数，都是线性时不变系统的本征函数] 第二、不同延时δ(t-r)函数的乘积积分 与通常意义的内积的正交性质不冲突 [ 说明： ∫δ(t-r)δ(t-p)dt 如果形象类比离散的西格玛符号形式，如下： ∑δ(tn-r)δ(tn-p) = 0+0+0+......+ δ(r-r)*δ(r-p)+......+ δ(p-r)*δ(p-p)+......+ 0+0+0..... 即，当tn<>r（或tn<>p）时，各分项均为零 即，仅剩tn=r（或tn=p）时，δ(r-r)*δ(r-p) 和 δ(p-r)*δ(p-p) 可能不为零 又因为，δ与x 的分布积等于零，即 xδ(x)=0 所以，δ(r-r)*δ(r-p)=0 δ(p-r)*δ(p-p)=0 所以，∑δ(tn-r)δ(tn-p) = 0 ] |
7楼2015-03-31 16:27:48
简单回复
dmbb8楼
2015-04-05 16:28
回复
etreeasky(金币+1): 谢谢参与
mtw9229楼
2015-04-05 16:35
回复
etreeasky(金币+1): 谢谢参与
tzynew10楼
2015-04-06 08:20
回复
etreeasky(金币+1): 谢谢参与
34658589011楼
2015-04-06 08:20
回复
etreeasky(金币+1): 谢谢参与
尕藏多吉12楼
2015-04-06 08:23
回复
etreeasky(金币+1): 谢谢参与