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etreeasky

新虫 (初入文坛)

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[交流] [探讨] 相互正交的exp(ipr)函数的总个数为阿列夫2

【注：首先声明上述语言表达是不严谨的，笔者本来的意思是想探讨‘在Hilbert空间定义下，以正交exp(ipr)函数为基底的系统的维度为阿列夫2’，但是遗憾的是Hilbert空间对问题所涉及的δ函数等广义函数的内积无定义、对exp(ipr)函数的内积也无定义。所以只能无奈不严谨的表达上述命题。严谨的表达可能只能等到某位数学大师扩展到‘广义Hilbert空间’以后吧。】

下面让我们一步一步粗略探讨，相互正交exp(ipr)函数最多会有多少个？

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1楼 2015-03-31 15:58:49

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etreeasky

新虫 (初入文坛)

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【注：上面这个证明对于Hilbert内积空间而言是不严谨的，因为δ函数等广义函数不是平方可积函数、不存在于Hilbert内积空间。但是基于下面两个事实，判定变量不同取值的δ广义函数两两正交并无不妥：

第一、δ广义函数是某类线性系统的基底
[定律：δ广义函数是所有线性时不变系统的共同本征函数系 ]
[δ广义函数和exp(ipx)函数一样，都是基元函数，都是线性时不变系统的本征函数]

第二、不同延时δ(t-r)函数的乘积积分与通常意义的内积的正交性质不冲突
[ 说明：
∫δ(t-r)δ(t-p)dt 如果形象类比离散的西格玛符号形式，如下：

∑δ(tn-r)δ(tn-p) = 0+0+0+......+ δ(r-r)*δ(r-p)+......+ δ(p-r)*δ(p-p)+......+ 0+0+0.....

即，当tn<>r（或tn<>p）时，各分项均为零

即，仅剩tn=r（或tn=p）时，δ(r-r)*δ(r-p) 和 δ(p-r)*δ(p-p) 可能不为零

又因为，δ与x 的分布积等于零，即 xδ(x)=0

所以，δ(r-r)*δ(r-p)=0

δ(p-r)*δ(p-p)=0

所以，∑δ(tn-r)δ(tn-p) = 0
]

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7楼2015-03-31 16:27:48

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etreeasky

新虫 (初入文坛)

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（1）当exp(ipr)函数的变量整数取值时，相互正交exp(ipr)函数的个数为阿列夫0
【证明一：

取xm和xn ，其中m、n为整数

则：∫exp(ip)^xn exp(-ip)^xm dp

相当于计算两个exp(ipx）的乘积

又由于exp(ipx）可以转换为三角函数：

所以exp(ipx)的正交性，对应于三角函数的正交关系

即：m不等于n时的exp(ip xm)和exp(ip xn)两两内积为0

所以，两两不同的exp(ip)^xn 和exp(ip)^xm正交

又因为，整数变量xn与函数exp(ip)^xn 对应，所以不同整数取值的exp(ip)^xn函数个数为阿列夫0

即，不同整数取值的两两正交的exp(ip)^xn 函数个数为阿列夫0 】

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2楼2015-03-31 16:10:32

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