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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » [探讨] 相互正交的exp(ipr)函数的总个数为阿列夫2
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etreeasky

新虫 (初入文坛)

[交流] [探讨] 相互正交的exp(ipr)函数的总个数为阿列夫2

【注：首先声明上述语言表达是不严谨的，笔者本来的意思是想探讨‘在Hilbert空间定义下，以正交exp(ipr)函数为基底的系统的维度为阿列夫2’，但是遗憾的是Hilbert空间对问题所涉及的δ函数等广义函数的内积无定义、对exp(ipr)函数的内积也无定义。所以只能无奈不严谨的表达上述命题。严谨的表达可能只能等到某位数学大师扩展到‘广义Hilbert空间’以后吧。】

下面让我们一步一步粗略探讨，相互正交exp(ipr)函数最多会有多少个？
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1楼 2015-03-31 15:58:49
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etreeasky

新虫 (初入文坛)
（2）当exp(ipr)函数的变量实数连续取值时，相互正交exp(ipr)函数的个数为阿列夫1

【证明如下：



可知，连续不同取值的x的exp(ipx)函数两两正交】
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4楼2015-03-31 16:19:37
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etreeasky

新虫 (初入文坛)
（1）当exp(ipr)函数的变量整数取值时，相互正交exp(ipr)函数的个数为阿列夫0
【 证明一：

取xm和xn ，其中m、n为整数

则：∫exp(ip)^xn exp(-ip)^xm dp

相当于计算两个exp(ipx）的乘积

又由于exp(ipx）可以转换为三角函数：



所以exp(ipx)的正交性，对应于三角函数的正交关系


即：m不等于n时的exp(ip xm)和exp(ip xn)两两内积为0

所以，两两不同的exp(ip)^xn  和exp(ip)^xm正交

又因为， 整数变量xn与函数exp(ip)^xn 对应，所以不同整数取值的exp(ip)^xn函数个数为阿列夫0

即，不同整数取值的两两正交的exp(ip)^xn 函数个数为阿列夫0 】
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2楼2015-03-31 16:10:32
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etreeasky

新虫 (初入文坛)
【证明二：

因为



根据欧拉公式：



可知，整数不同取值的 k、m的exp(ikt)函数 和exp(imt）函数两两正交

又因为， 整数变量k与函数exp(ikt)对应，所以不同整数取值的exp(ikt)函数个数为阿列夫0

即，不同整数取值的两两正交的exp(ikt) 函数个数为阿列夫0 】
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3楼2015-03-31 16:17:33
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etreeasky

新虫 (初入文坛)
【注：上面这个证明对于Hilbert内积空间而言是不严谨的，因为exp(ipx)不是平方可积函数、不存在于Hilbert内积空间。但是基于下面两个事实，判定变量x连续不同取值的exp(ipx)函数两两正交并无不妥：



第一、exp(ipx) 是某类线性系统的基底

[定律：exp(ipx) 是所有线性时不变系统的共同本征函数系 ]  

[证明：

设L是任意线性时不变系统，v是输入，w是输出

即 w=Lv

　　则 w(x)=h(x)*v(x) ，即w可以表达成h和v的卷积

　　上式傅里叶变换记为:

　　W(s)=H(s)V(s)

　　如果输入exp(ipx)    [注：为方便表述，exp(ipx) 省略了常数项2π ]

即 v（x）= exp(ipx)   

　　因为exp(ipx)的傅里叶变换等于脉冲函数δ(x-p)  

　　则输出：W(s)=H(s)δ(s-p)=H(x)δ(x-p)    [注：此处H(x)是个常数]

　　再通过傅里叶反变换，把上式从频域返回到时域，得到：

　　w(x)=H(x) exp(ipx)

　　此处H(x)是个常数，记为c，则：

　　w(x)= c exp(ipx)

　　即：输入exp(ipx) ，通过L线性时不变系统w=Lv，输出得到 c exp(ipx)

　　即：L exp(ipx) = c exp(ipx)    [注： L作用在exp(ipx) 等于常数乘以exp(ipx) ]



　　即： exp(ipx) 是任意线性时不变系统L的本征函数

　　证毕。]








第二、exp(ipx) 满足狄拉克正交性质



】
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5楼2015-03-31 16:21:43
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