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【命题】全体exp(ipr)函数集合的空间维度为阿列夫2 已有1人参与
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【证明： （步骤一）  两个函数内积为零，则正交。 （步骤二） 因为在坐标r表象中，动量p等于（－id/dr），即p为r的函数,记为：p＝f(r) 如果p×r共同空间的全体元素与连续实数空间点可以一一映射，根据实数稠密性不动点定理，则存在r0，使f(r0)=r0 即有p0=r0 ，这意味着动量和坐标可以在某一点同时确定。这与不确定性原理矛盾。 所以，p×r共同空间与实数点空间不满足一一映射。 所以，p×r共同空间互不相等元素的集合的势不等于阿列夫1 又因为p×r共同空间的r和p可连续取值，所以 p×r共同空间互不相等元素的集合的势大于阿列夫0 所以，p×r共同空间互不相等元素的集合的势大于阿列夫1 即，互不相等r、p的元素个数大于阿列夫1 即，互不相等r、p的元素个数大于等于阿列夫2 （步骤三） 互不相等r、p的个数等于δ(r-p)为零值的个数，根据步骤一，δ(r-p)为零值的个数等于δ(t-r)和δ(t-p)相互正交函数的个数 根据步骤二，互不相等r、p的元素个数大于等于阿列夫2，所以δ(t-r)和δ(t-p)相互正交函数的个数大于等于阿列夫2 即，两两正交的δ(t-r)、δ(t-p)函数集合的势大于等于阿列夫2 即，全体δ(t-r)函数集合空间的维度大于等于阿列夫2 （步骤四） 因为：  即，傅立叶正反变换均不是一对多的映射 即，傅立叶变换非退化，是非退化的线性变化 （步骤五） 因为：  即，基元函数δ(r-p)和基元函数exp(ipr)是一一映射 （步骤六） 根据步骤三和步骤五， 全体exp(ipr)函数集合空间的维度大于等于阿列夫2 （步骤七） 又因为：  （步骤八） 根据步骤六和步骤七，因为空间维度不大于空间元素个数。 所以， 完备的exp(ipr)函数集合空间的维度为阿列夫2 证毕。】 [ Last edited by etreeasky on 2015-3-23 at 13:36 ] |
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4楼2015-03-22 14:47:58
5楼2015-03-22 15:02:09
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这篇文章措辞的确很不严谨。 一方面因为若按照严格的数学定义来叙述，可能文章会陷入辞藻汪洋，而不能突出观点。 另一方面，δ函数对数序家而言本身就是极其不严谨的，让数学界异常窘迫尴尬，数学根本解释不同这是个什么东西。 因为这个怪胎函数仅在0点一个点有值、这个点值是∞、其积分等于1 （积分宽度为0、高度为∞、面积是1）， 数学表达为： 0 × ∞ ＝ 1 。 零乘以无穷大等于1，放在严谨的数学体系中，谬误在所难免。 因为这相当于1/0＝ ∞ ，意味着两个“确定的”数的算术运算将等于“不确定”，这在数学逻辑中完全无法解释。 与此形成鲜明对照的是，δ函数在广泛科学领域的应用取得了巨大成功，甚至可以说如果没有冲激函数就没有量子力学、信号学、傅立叶变换。 固步自封的数学家被迫接受δ函数，但也许δ函数始终是数学逻辑挥之不去的阴影。 但是，因为这个阴影，数学就从此止步不前了吗？ |
6楼2015-03-23 09:21:25
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再看一个简单问题： 我们熟悉的三角函数cos ，它的傅里叶变换函数存在吗？ 如果我们以经典的微积分（阿列夫1维度）理论来观察，会发现这个积分不收敛，也就是说在实数理论中cos的傅里叶变换函数“不存在” 。 但是，如果基于张量空间的傅里叶变换理论，很容易可以算出cos的傅里叶变换函数（等于两个脉冲函数δ ）。 cos的傅里叶变换函数是两个脉冲的确定的算式：1/2(δ(a)+δ(-a)) ，这个简单算式明白无误的表明了 δ相当于普通的确定的数值（虽然它是无穷大，它却可以‘量化’而计算，这是‘实无穷’最贴切的例子）。 这是工程学、信号学、物理学习以为常的图像。稍微调试一下频域的脉冲，很容易就能造出时域的cos余弦波。cos的傅里叶变换函数图像明显可见。，虽然实数理论中cos的傅里叶变换函数“不存在”。 |
7楼2015-03-23 09:22:40
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