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zzrqyr

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[求助] 请求数学大神求解几个极限问题已有3人参与

各位数学大神帮忙求求这几个极限，我求了半天做不出来。谢谢大家了！

bw178h2588234_1413732167_753.jpg

[ Last edited by feixiaolin on 2014-10-20 at 10:24 ]

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1楼2014-10-19 23:22:57

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Edstrayer

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你贴过图，歪着脖子看不清题目，没法做，你贴过图片，把图片转一下。……………………

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2014-10-20 01:51:29

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Edstrayer

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

$\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{(\ln tx)^{\sin(\ln(\ln tx))}{(\ln t)^{\sin(\ln(\ln t))}\stackrel{y=\ln t}{=}\lim\limits_{y\to+\infty}\frac{(y+\ln x)^{\sin(\ln(y+\ln x))}{y^{\sin(\ln y)}$

$\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{(\ln tx)^{\sin(\ln(\ln tx))}{(\ln t)^{\sin(\ln(\ln t))}=\lim\limits_{y\to+\infty}\left[(1+\frac{\ln x}{y})^{\frac{y}{\ln x}\right]^{\frac{\ln x\sin(\ln(y+\ln x))}{y}\times e^{2\cos\frac{\ln(y+\ln x)+\ln y}{2}\sin\frac{\ln(y+\ln x)-\ln y}{2}\times \ln y$

注意到：

$\lim\limits_{y\to+\infty}\left[(1+\frac{\ln x}{y})^{\frac{y}{\ln x}\right]^{\frac{\ln x\sin(\ln(y+\ln x))}{y}=e^0=1$

$\lim\limits_{y\to+\infty}\sin\frac{\ln(y+\ln x)-\ln y}{2}\times \ln y=\lim\limits_{y\to+\infty}\frac{1}{2}\frac{\ln x}{y}\ln y=0$

所以就有：

$\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{(\ln tx)^{\sin(\ln(\ln tx))}{(\ln t)^{\sin(\ln(\ln t))}=e^0\times e^0=1\times 1=1$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

12楼2014-10-21 01:00:16

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★
zzrqyr: 金币+6, ★★★★★最佳答案, 非常感谢！ 2014-10-21 11:33:13

$\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{(\ln tx)^{\sin(\ln(\ln tx))}}{(\ln t)^{\sin(\ln(\ln t))}}\stackrel{y=\ln t}{=}\lim\limits_{y\to+\infty}\frac{(y+\ln x)^{\sin(\ln(y+\ln x))}}{y^{\sin(\ln y)}}$

$\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{(\ln tx)^{\sin(\ln(\ln tx))}}{(\ln t)^{\sin(\ln(\ln t))}}=\lim\limits_{y\to+\infty}\left(1+\frac{\ln x}{y}\right)^{\sin(\ln(y+\ln x))}\times y^{\sin(\ln(y+\ln x))-\sin(\ln y)}$

$\lim\limits_{y\to+\infty}\left(1+\frac{\ln x}{y}\right)^{\sin(\ln(y+\ln x))}=\lim\limits_{y\to+\infty}\left[(1+\frac{\ln x}{y})^{\frac{\ln x}{y}}^{\frac{\ln x\sin(\ln(y+\ln x))}{y}}=e^0=1$

$\lim\limits_{y\to+\infty}y^{\sin(\ln(y+\ln x))-\sin(\ln y)}=\lim\limits_{y\to+\infty}e^{2\cos\frac{\ln(y+\ln x)+\ln x}{2}\sin\frac{\ln(1+\frac{\ln x}{y})}{2}\ln y}=e^0=1$

所以就有：

$\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{(\ln tx)^{\sin(\ln(\ln tx))}}{(\ln t)^{\sin(\ln(\ln t))}}=1\times 1=1$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

13楼2014-10-21 01:20:10

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