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zzrqyr

银虫 (小有名气)

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[求助] 请求数学大神求解几个极限问题已有3人参与

各位数学大神帮忙求求这几个极限，我求了半天做不出来。谢谢大家了！

bw178h2588234_1413732167_753.jpg

[ Last edited by feixiaolin on 2014-10-20 at 10:24 ]

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和大家一起学习交流

1楼2014-10-19 23:22:57

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Edstrayer

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★
zzrqyr: 金币+6, ★★★★★最佳答案, 非常感谢！ 2014-10-21 11:33:13

$\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{(\ln tx)^{\sin(\ln(\ln tx))}}{(\ln t)^{\sin(\ln(\ln t))}}\stackrel{y=\ln t}{=}\lim\limits_{y\to+\infty}\frac{(y+\ln x)^{\sin(\ln(y+\ln x))}}{y^{\sin(\ln y)}}$

$\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{(\ln tx)^{\sin(\ln(\ln tx))}}{(\ln t)^{\sin(\ln(\ln t))}}=\lim\limits_{y\to+\infty}\left(1+\frac{\ln x}{y}\right)^{\sin(\ln(y+\ln x))}\times y^{\sin(\ln(y+\ln x))-\sin(\ln y)}$

$\lim\limits_{y\to+\infty}\left(1+\frac{\ln x}{y}\right)^{\sin(\ln(y+\ln x))}=\lim\limits_{y\to+\infty}\left[(1+\frac{\ln x}{y})^{\frac{\ln x}{y}}^{\frac{\ln x\sin(\ln(y+\ln x))}{y}}=e^0=1$

$\lim\limits_{y\to+\infty}y^{\sin(\ln(y+\ln x))-\sin(\ln y)}=\lim\limits_{y\to+\infty}e^{2\cos\frac{\ln(y+\ln x)+\ln x}{2}\sin\frac{\ln(1+\frac{\ln x}{y})}{2}\ln y}=e^0=1$