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求解数学题目，如下
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设AB=BA=0,且r(A^2)=r(A),求证r(A+B)=r(A)+r(B)求指点一下，谢谢了 [ 发自手机版 http://muchong.com/3g ] [ Last edited by feixiaolin on 2014-9-22 at 21:02 ] |
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feixiaolin
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sosrui3282楼2014-09-22 21:02:51
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至尊木虫 (著名写手)
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- 性别: GG
- 专业: 理论和计算化学
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根据Feixiaolin版主的提示, 你可以这样做: 1. 对一个线性算子而言, rank(T) = dim(Im(T)), 就是像空间的维数. 所以我们要证: dim( Im(A+B) )= dim( Im(A) ) + dim( Im(B) ). 2. 我们来定义一个线性映射 phi: Im(A+B) --> Im(A) 直和Im(B), phi ( (A+B)x )= (Ax, Bx). 首先得证明这个映射是合理定义的, 就是不会出现一对多的情况. 如果 (A+B)x = (A+B)y, 那么必须有: phi ( (A+B)x ) = phi ( A+B)y ), 即: Ax=Ay, 同时 Bx=By. 这就需要其它的条件: (A+B)(x-y)=0 ==> A(A+B)(x-y)=0. 由于AB=0, 所以 A^2(x-y)=0. 又因为 r(A^2)=r(A), 得到dim(Ker(A^2)) = n-dim( Im(A^2) ) =n-dim( Im(A) )= dim( Ker(A) ). 但是Ker(A)是Ker(A^2)的子空间, 所以 Ker(A) = Ker(A^2), 所以 A^2 (x-y)=0 ==> A(x-y)=0, 即: Ax =Ay. 然后从(A+B)x = (A+B)y 立得Bx=By. 3. 映射phi 当然是单射, 因为Ax=0, Bx=0推出(A+B)x=0. 现在我们来证明一个并不显然的结论: phi 是满射. 任取组合(Ax,By), 因为Im(A) =Im(A^2), 因此存在z使得 A(x-y) = A^2(z), 那么, 因为BA=0, 有 phi( (A+B)(y+Az) )= ( A(y+Az), B(y+Az) ) = ( Ax, By) . 4. 既然我们证明了 Im(A+B) 和 ( Im(A)直和Im(B) ) 两个线性空间同构, 那维数自然是相等的. |
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