版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告

返回列表

napoleon_999

木虫 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 5369.5
帖子: 207
在线: 35.1小时
虫号: 3137925
注册: 2014-04-15
专业: 组合数学

[求助] 图论方面的一个小问题已有2人参与

有一个问题想了好久都没有证明出来，就是对于一个不含三角形的图G，∑d(i)^2<=mn，其中m是边数，n是顶点数，d(i)
是每个顶点的度数。请各位大神帮忙解决一下，我是新人，金币有点少，若能解决，感激不尽！

回复此楼

» 猜你喜欢

346求调剂一志愿070303有机化学已经有9人回复
085601 329分调剂已经有5人回复
289求调剂已经有4人回复
367求调剂已经有6人回复
271求调剂已经有4人回复
085600，321分求调剂已经有3人回复
化学工程085602 305分求调剂已经有35人回复
282求调剂不挑专业求收留已经有5人回复
求调剂已经有7人回复
334分一志愿武理-080500 材料求调剂已经有6人回复

» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:

关于顶点覆盖算法的一些问题已经有8人回复
拓扑学一个连通的问题已经有6人回复
求助，如何将一个图划分为几个大小相等的集群并集群间的互联度最小已经有5人回复
图论算法求助！已经有8人回复
请问有数学里面有研究图论和函数变化结合的交叉学科吗已经有15人回复
图论英文题目的翻译已经有5人回复
请教一个图论的题已经有5人回复
呼唤图论高手！关于图论中子图间连通度的问题。已经有4人回复
关于图论问题的NP完备性证明已经有7人回复
图论的四色问题我拿笔画画画出来个疑问已经有5人回复
计算机学报投稿过程，供大家分享已经有5人回复
30金币求助：最长路径问题，要求遍历每个节点，总路径最长已经有7人回复
matlab图论有关的算法程序已经有114人回复
图论中关于节点数量与边的关系已经有4人回复
介绍四色问题的肯普证明（节选自《数学证明》、大连理工大学出版社著萧文强）已经有4人回复
【求助】运筹学与控制论中的图论方向就业如何？已经有11人回复
【求助】一个经典的数模问题求解！！！！急已经有7人回复
【求助】关于图像分割的一个问题已经有9人回复

1楼 2014-08-11 11:13:16

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
napoleon_999: 金币+5, ★★★★★最佳答案, 我太穷了 2014-08-12 09:00:17

引用回帖:

5楼: Originally posted by napoleon_999 at 2014-08-11 14:45:04
不，您弄错了，我就是指的所有的简单图，无圈无重边是简单图的概念，圈在这里指的是一条边两个端点是同一个顶点的那一种，不是circle，是loop，这道题的图G范围是全体简单图。证明目前还是想不出来。...

有了简单图并且没有三角形这两个条件，结论是十分显然的阿

引理1：如果G是简单图，并且没有三角形，那么对任意一条边e,设两个端点是 vi,vj, 由于v_i, v_j没有公共的邻居，所以 $d_i + d_j \leq V$ , 其中d_i为vi的顶点度数，d_j为v_j 的顶点度数， V为G中所有顶点总数。

然后，自然是 $\sum_{k=1}^V d_k^2=\sum_{e \in E} (d_i +d_j) \leq E\dot V$

楼主仔细验证一下，上面的对边e求和与对顶点求和的转换是成立的。

赞一下(2人)

回复此楼

We_must_know. We_will_know.

10楼2014-08-11 23:15:48

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

【答案】应助回帖

★
napoleon_999: 金币+1, ★有帮助 2014-08-12 09:00:41

命题：设G=(V,E)是不含自环的无重边的简单图，如果G中的边不构成三角形，则

$\sum\limits_{v\in V}d^2(v)\leqslant mn$

其中d(v)表示图G中顶点v的度数， $m=\mid E\mid,n=\mid V\mid$ .
证明：对G的顶点V使用数学归纳法。
当n=1时，m=0，d(v)=0，显然有 $0^2=0\times 1$
当n=2时， $V=\{v_1,v_2\}$ ，因为是简单图，故 $m\leqslant 1$ ，
      情形一：如果m=0，则 $d(v_1)=d(v_2)=0,\text{then}0^2+0^2=0\times 2$
      情形二：如果m=1，则 $d(v_1)=d(v_2)=1,\text{then}1^2+1^2=1\times 2$
当n=3时， $V=\{v_1,v_2,v_3\}$ ，因为是简单图，故 $m\leqslant 2$ ，
      情形一：如果m=0，则 $d(v_1)=d(v_2)=d(v_3)=0,\text{then}0^2+0^2+0^2=0\times 3$
      情形二：如果m=1，则 $d(v_1)=d(v_2)=1,d(v_3)=0,\text{then}1^2+1^2+0^2=2<1\times 3$
      情形三：如果m=2，则 $d(v_1)=d(v_2)=1,d(v_3)=2,\text{then}1^2+1^2+2^2=6=2\times 3$
归纳假设：假设命题对于顶点数目不大于n的图G成立。
递推步骤：则当 $\mid V\mid=n+1$ 时，设 $V=\{v_1,v_2,\cdots,v_n,v_{n+1}\}$ ，记图G删掉顶点 $v_{n+1}$ 后得到的图为 $G_1=(V_1,E_1)$ ，显然在图 $G,G_1$ 中， $d(v_{n+1})=d\leqslant n,\mid E_1\mid=m-d,\mid V_1\mid=n$ 。由于图G中的边不构成三角形，所以图 $G_1$ 中的边也不构成三角形，故其满足归纳假设，因此就有：

$\sum\limits_{v\in G_1}d^2(v)\leqslant(m-d)n$

于是就有：

$\sum\limits_{v\in G}d^2(v)=\sum\limits_{v\in G_1}d^2(v)+d(v_{n+1})$

$\sum\limits_{v\in G}d^2(v)\leqslant(m-d)n+d^2=mn+d(d-n)\leqslant mn\leqslant m(n+1)$

所以由数学归纳法原理就知命题对任意顶点数目的图G都成立。

赞一下(1人)

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

9楼2014-08-11 17:53:56

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

普通回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

图G是简单图吧？
否则，易举出反例的。
例如： $G=\{v_1,v_2,v_3\},E=\{v_1v_2,v_1v_2,v_1v_3,v_1v_3\}$ ，即G是三个顶点四条边的含圈图（不含成三角形的边），其中

$d(v_1)=4,d(v_2)=d(v_3)=2,n=3,m=4$

则有：

$\sum\limits_{v_i\in G}d^2(v_i)=4^2+2^2+2^2=24>3\times 4=12$

赞一下

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2014-08-11 12:16:04

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

napoleon_999

木虫 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 5369.5
帖子: 207
在线: 35.1小时
虫号: 3137925
注册: 2014-04-15
专业: 组合数学

引用回帖:

2楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-08-11 12:16:04
图G是简单图吧？
否则，易举出反例的。
例如：G=\{v_1,v_2,v_3\},E=\{v_1v_2,v_1v_2,v_1v_3,v_1v_3\}，即G是三个顶点四条边的含圈图（不含成三角形的边），其中
d(v_1)=4,d(v_2)=d(v_3)=2,n=3,m=4
则有：
\sum ...

对，忘说了，是简单图，无圈无重边的。

赞一下

回复此楼

3楼2014-08-11 13:14:06

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

你没有把问题的条件叙述清楚吧？
这个问题中的图G对于含圈的简单图也是成立的。
例如，设 $G=(V,E),\textbf{here} V=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\},E=\{v_1v_2,v_2v_3,v_3v_4,v_4v_5,v_5v_1\}$ ，即G是五个顶点的含圈的简单图，则有：

$d(v_i)=2(i=1,2,3,4,5),n=5,m=5$

于是就有：

$\sum\limits_{v_i\in G}d^2(v_i)=2^2\times 5=4\times 5=20<nm=5\times 5=25$

赞一下

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

4楼2014-08-11 14:27:30

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

napoleon_999

木虫 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 5369.5
帖子: 207
在线: 35.1小时
虫号: 3137925
注册: 2014-04-15
专业: 组合数学

引用回帖:

4楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-08-11 14:27:30
你没有把问题的条件叙述清楚吧？
这个问题中的图G对于含圈的简单图也是成立的。
例如，设G=(V,E),\textbf{here} V=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\},E=\{v_1v_2,v_2v_3,v_3v_4,v_4v_5,v_5v_1\}，即G是五个顶点的含圈的简单 ...

不，您弄错了，我就是指的所有的简单图，无圈无重边是简单图的概念，圈在这里指的是一条边两个端点是同一个顶点的那一种，不是circle，是loop，这道题的图G范围是全体简单图。证明目前还是想不出来。

赞一下

回复此楼

5楼2014-08-11 14:45:04

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

napoleon_999

木虫 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 5369.5
帖子: 207
在线: 35.1小时
虫号: 3137925
注册: 2014-04-15
专业: 组合数学

引用回帖:

全体无三角形的简单图。

赞一下

回复此楼

6楼2014-08-11 14:49:55

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

引用回帖:

那你所说的圈是称作自环（即边的两个端点是同一个顶点）的概念，简单图是不讨论含自环的无重边的图的。

赞一下

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

7楼2014-08-11 14:50:39

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

通过对图G的顶点n使用数学归纳法可以证明本命题。

赞一下

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

8楼2014-08-11 15:42:20

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

相关版块跳转我要订阅楼主 napoleon_999 的主题更新

返回列表

最具人气热帖推荐 [查看全部]		作者	回/看	最后发表

[考研] 一志愿华东理工大学，080500学硕，317分，求调剂 +7	s1145 2026-03-31	7/350	2026-03-31 14:38 by fmesaito
[考研] 本科211安全工程，初试290分，求调剂 +3	2719846834 2026-03-28	3/150	2026-03-31 13:52 by 热情沙漠
[考研] 085404 22408 315分 +5	zhuangyan123 2026-03-31	6/300	2026-03-31 13:48 by limeifeng
[考研] 334求调剂 +7	Trying] 2026-03-31	7/350	2026-03-31 12:33 by 无际的草原
[考研] 一志愿浙江大学工科动力工程370,数一121,专业课135，现在能去哪里 +3	080700调剂 2026-03-30	4/200	2026-03-31 12:00 by KLMY666
[考研] 求调剂 +4	研s. 2026-03-25	4/200	2026-03-31 10:05 by fmesaito
[考研] 福建理工大学材料学院先进合金团队招收考研调剂学生 +3	大华金商都 2026-03-30	4/200	2026-03-31 01:04 by 方英俊602
[考研] 一志愿华中师范化学332分求调剂 +3	Lyy930824@ 2026-03-29	3/150	2026-03-30 20:15 by DHUSHUAI
[考研] 一志愿北京化工大学材料与化工（085600）296求调剂 +25	稻妻小编 2026-03-26	25/1250	2026-03-30 20:11 by 滴滴上岸呀
[考研] 327求调剂 +5	小卡不卡. 2026-03-29	5/250	2026-03-30 19:30 by Wang200018
[考研] 317分一志愿南理工材料工程本科湖工大求调剂 +12	芋泥小铃铛 2026-03-28	12/600	2026-03-30 17:06 by wangjy2002
[考研] 一志愿南航 335分 \| 0856 \| GPA 4.07 \| 有科研经历 +8	cccchenso 2026-03-29	8/400	2026-03-29 23:53 by 我是小康
[考研] 081200-11408-276学硕求调剂 +6	崔wj 2026-03-26	6/300	2026-03-29 01:11 by hanserlol
[考研] 312，生物学求调剂 +3	小译同学abc 2026-03-28	3/150	2026-03-28 15:32 by 落睿可思
[考研] 394求调剂 +3	好事多磨静候佳� 2026-03-26	5/250	2026-03-28 14:24 by 唐沐儿
[考研] 352分化工与材料 +5	海纳百川Ly 2026-03-27	5/250	2026-03-28 03:39 by fmesaito
[考研] 085600，材料与化工321分调剂 +4	大馋小子 2026-03-27	6/300	2026-03-27 14:11 by 松花缸1201
[硕博家园] 北京林业大学硕导招生广告 +6	kongweilin 2026-03-26	8/400	2026-03-27 10:18 by FF_16
[考研] 调剂求收留 +7	果然有我 2026-03-26	7/350	2026-03-27 00:26 by wxiongid
[考研] 考研一志愿苏州大学初始315（英一）求调剂 +3	sbdksD 2026-03-24	4/200	2026-03-25 18:16 by xcjcqu

24小时热门版块排行榜

[求助] 图论方面的一个小问题 已有2人参与

» 猜你喜欢

» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:

【答案】应助回帖

【答案】应助回帖

【答案】应助回帖

[求助] 图论方面的一个小问题已有2人参与