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napoleon_999

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[求助] 图论方面的一个小问题已有2人参与

有一个问题想了好久都没有证明出来，就是对于一个不含三角形的图G，∑d(i)^2<=mn，其中m是边数，n是顶点数，d(i)
是每个顶点的度数。请各位大神帮忙解决一下，我是新人，金币有点少，若能解决，感激不尽！

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1楼 2014-08-11 11:13:16

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hank612

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
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napoleon_999: 金币+5, ★★★★★最佳答案, 我太穷了 2014-08-12 09:00:17

引用回帖:

5楼: Originally posted by napoleon_999 at 2014-08-11 14:45:04
不，您弄错了，我就是指的所有的简单图，无圈无重边是简单图的概念，圈在这里指的是一条边两个端点是同一个顶点的那一种，不是circle，是loop，这道题的图G范围是全体简单图。证明目前还是想不出来。...

有了简单图并且没有三角形这两个条件，结论是十分显然的阿

引理1：如果G是简单图，并且没有三角形，那么对任意一条边e,设两个端点是 vi,vj, 由于v_i, v_j没有公共的邻居，所以 $d_i + d_j \leq V$ , 其中d_i为vi的顶点度数，d_j为v_j 的顶点度数， V为G中所有顶点总数。

然后，自然是 $\sum_{k=1}^V d_k^2=\sum_{e \in E} (d_i +d_j) \leq E\dot V$

楼主仔细验证一下，上面的对边e求和与对顶点求和的转换是成立的。

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We_must_know. We_will_know.

10楼2014-08-11 23:15:48

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【答案】应助回帖

★
napoleon_999: 金币+1, ★有帮助 2014-08-12 09:00:41

命题：设G=(V,E)是不含自环的无重边的简单图，如果G中的边不构成三角形，则

$\sum\limits_{v\in V}d^2(v)\leqslant mn$

其中d(v)表示图G中顶点v的度数， $m=\mid E\mid,n=\mid V\mid$ .
证明：对G的顶点V使用数学归纳法。
当n=1时，m=0，d(v)=0，显然有 $0^2=0\times 1$
当n=2时， $V=\{v_1,v_2\}$ ，因为是简单图，故 $m\leqslant 1$ ，
      情形一：如果m=0，则 $d(v_1)=d(v_2)=0,\text{then}0^2+0^2=0\times 2$
      情形二：如果m=1，则 $d(v_1)=d(v_2)=1,\text{then}1^2+1^2=1\times 2$
当n=3时， $V=\{v_1,v_2,v_3\}$ ，因为是简单图，故 $m\leqslant 2$ ，
      情形一：如果m=0，则 $d(v_1)=d(v_2)=d(v_3)=0,\text{then}0^2+0^2+0^2=0\times 3$
      情形二：如果m=1，则 $d(v_1)=d(v_2)=1,d(v_3)=0,\text{then}1^2+1^2+0^2=2<1\times 3$
      情形三：如果m=2，则 $d(v_1)=d(v_2)=1,d(v_3)=2,\text{then}1^2+1^2+2^2=6=2\times 3$
归纳假设：假设命题对于顶点数目不大于n的图G成立。
递推步骤：则当 $\mid V\mid=n+1$ 时，设 $V=\{v_1,v_2,\cdots,v_n,v_{n+1}\}$ ，记图G删掉顶点 $v_{n+1}$ 后得到的图为 $G_1=(V_1,E_1)$ ，显然在图 $G,G_1$ 中， $d(v_{n+1})=d\leqslant n,\mid E_1\mid=m-d,\mid V_1\mid=n$ 。由于图G中的边不构成三角形，所以图 $G_1$ 中的边也不构成三角形，故其满足归纳假设，因此就有：

$\sum\limits_{v\in G_1}d^2(v)\leqslant(m-d)n$

于是就有：

$\sum\limits_{v\in G}d^2(v)=\sum\limits_{v\in G_1}d^2(v)+d(v_{n+1})$

$\sum\limits_{v\in G}d^2(v)\leqslant(m-d)n+d^2=mn+d(d-n)\leqslant mn\leqslant m(n+1)$

所以由数学归纳法原理就知命题对任意顶点数目的图G都成立。

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9楼2014-08-11 17:53:56

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Edstrayer

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图G是简单图吧？
否则，易举出反例的。
例如： $G=\{v_1,v_2,v_3\},E=\{v_1v_2,v_1v_2,v_1v_3,v_1v_3\}$ ，即G是三个顶点四条边的含圈图（不含成三角形的边），其中

$d(v_1)=4,d(v_2)=d(v_3)=2,n=3,m=4$

则有：

$\sum\limits_{v_i\in G}d^2(v_i)=4^2+2^2+2^2=24>3\times 4=12$

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2楼2014-08-11 12:16:04

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2楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-08-11 12:16:04
图G是简单图吧？
否则，易举出反例的。
例如：G=\{v_1,v_2,v_3\},E=\{v_1v_2,v_1v_2,v_1v_3,v_1v_3\}，即G是三个顶点四条边的含圈图（不含成三角形的边），其中
d(v_1)=4,d(v_2)=d(v_3)=2,n=3,m=4
则有：
\sum ...

对，忘说了，是简单图，无圈无重边的。

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3楼2014-08-11 13:14:06

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你没有把问题的条件叙述清楚吧？
这个问题中的图G对于含圈的简单图也是成立的。
例如，设 $G=(V,E),\textbf{here} V=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\},E=\{v_1v_2,v_2v_3,v_3v_4,v_4v_5,v_5v_1\}$ ，即G是五个顶点的含圈的简单图，则有：

$d(v_i)=2(i=1,2,3,4,5),n=5,m=5$

于是就有：

$\sum\limits_{v_i\in G}d^2(v_i)=2^2\times 5=4\times 5=20<nm=5\times 5=25$

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4楼2014-08-11 14:27:30

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4楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-08-11 14:27:30
你没有把问题的条件叙述清楚吧？
这个问题中的图G对于含圈的简单图也是成立的。
例如，设G=(V,E),\textbf{here} V=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\},E=\{v_1v_2,v_2v_3,v_3v_4,v_4v_5,v_5v_1\}，即G是五个顶点的含圈的简单 ...

不，您弄错了，我就是指的所有的简单图，无圈无重边是简单图的概念，圈在这里指的是一条边两个端点是同一个顶点的那一种，不是circle，是loop，这道题的图G范围是全体简单图。证明目前还是想不出来。

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5楼2014-08-11 14:45:04

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全体无三角形的简单图。

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6楼2014-08-11 14:49:55

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那你所说的圈是称作自环（即边的两个端点是同一个顶点）的概念，简单图是不讨论含自环的无重边的图的。

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7楼2014-08-11 14:50:39

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通过对图G的顶点n使用数学归纳法可以证明本命题。

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8楼2014-08-11 15:42:20

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