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napoleon_999

木虫 (小有名气)

[求助] 图论方面的一个小问题 已有2人参与

有一个问题想了好久都没有证明出来,就是对于一个不含三角形的图G,∑d(i)^2<=mn,其中m是边数,n是顶点数,d(i)
是每个顶点的度数。请各位大神帮忙解决一下,我是新人,金币有点少,若能解决,感激不尽!
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

引用回帖:
5楼: Originally posted by napoleon_999 at 2014-08-11 14:45:04
不,您弄错了,我就是指的所有的简单图,无圈无重边是简单图的概念,圈在这里指的是一条边两个端点是同一个顶点的那一种,不是circle,是loop,这道题的图G范围是全体简单图。证明目前还是想不出来。...

那你所说的圈是称作自环(即边的两个端点是同一个顶点)的概念,简单图是不讨论含自环的无重边的图的。
青葱岁月圣诞夜,浪漫歌舞迎新年。
7楼2014-08-11 14:50:39
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

图G是简单图吧?
否则,易举出反例的。
例如:,即G是三个顶点四条边的含圈图(不含成三角形的边),其中


则有:

青葱岁月圣诞夜,浪漫歌舞迎新年。
2楼2014-08-11 12:16:04
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napoleon_999

木虫 (小有名气)

引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-08-11 12:16:04
图G是简单图吧?
否则,易举出反例的。
例如:G=\{v_1,v_2,v_3\},E=\{v_1v_2,v_1v_2,v_1v_3,v_1v_3\},即G是三个顶点四条边的含圈图(不含成三角形的边),其中
d(v_1)=4,d(v_2)=d(v_3)=2,n=3,m=4
则有:
\sum ...

对,忘说了,是简单图,无圈无重边的。
3楼2014-08-11 13:14:06
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

你没有把问题的条件叙述清楚吧?
这个问题中的图G对于含圈的简单图也是成立的。
例如,设,即G是五个顶点的含圈的简单图,则有:


于是就有:

青葱岁月圣诞夜,浪漫歌舞迎新年。
4楼2014-08-11 14:27:30
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