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napoleon_999

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[求助] 图论方面的一个小问题已有2人参与

有一个问题想了好久都没有证明出来，就是对于一个不含三角形的图G，∑d(i)^2<=mn，其中m是边数，n是顶点数，d(i)
是每个顶点的度数。请各位大神帮忙解决一下，我是新人，金币有点少，若能解决，感激不尽！

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1楼 2014-08-11 11:13:16

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Edstrayer

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【答案】应助回帖

★
napoleon_999: 金币+1, ★有帮助 2014-08-12 09:00:41

命题：设G=(V,E)是不含自环的无重边的简单图，如果G中的边不构成三角形，则

$\sum\limits_{v\in V}d^2(v)\leqslant mn$

其中d(v)表示图G中顶点v的度数， $m=\mid E\mid,n=\mid V\mid$ .
证明：对G的顶点V使用数学归纳法。
当n=1时，m=0，d(v)=0，显然有 $0^2=0\times 1$
当n=2时， $V=\{v_1,v_2\}$ ，因为是简单图，故 $m\leqslant 1$ ，
      情形一：如果m=0，则 $d(v_1)=d(v_2)=0,\text{then}0^2+0^2=0\times 2$
      情形二：如果m=1，则 $d(v_1)=d(v_2)=1,\text{then}1^2+1^2=1\times 2$
当n=3时， $V=\{v_1,v_2,v_3\}$ ，因为是简单图，故 $m\leqslant 2$ ，
      情形一：如果m=0，则 $d(v_1)=d(v_2)=d(v_3)=0,\text{then}0^2+0^2+0^2=0\times 3$
      情形二：如果m=1，则 $d(v_1)=d(v_2)=1,d(v_3)=0,\text{then}1^2+1^2+0^2=2<1\times 3$
      情形三：如果m=2，则 $d(v_1)=d(v_2)=1,d(v_3)=2,\text{then}1^2+1^2+2^2=6=2\times 3$
归纳假设：假设命题对于顶点数目不大于n的图G成立。
递推步骤：则当 $\mid V\mid=n+1$ 时，设 $V=\{v_1,v_2,\cdots,v_n,v_{n+1}\}$ ，记图G删掉顶点 $v_{n+1}$ 后得到的图为 $G_1=(V_1,E_1)$ ，显然在图 $G,G_1$ 中， $d(v_{n+1})=d\leqslant n,\mid E_1\mid=m-d,\mid V_1\mid=n$ 。由于图G中的边不构成三角形，所以图 $G_1$ 中的边也不构成三角形，故其满足归纳假设，因此就有：

$\sum\limits_{v\in G_1}d^2(v)\leqslant(m-d)n$

于是就有：

$\sum\limits_{v\in G}d^2(v)=\sum\limits_{v\in G_1}d^2(v)+d(v_{n+1})$

$\sum\limits_{v\in G}d^2(v)\leqslant(m-d)n+d^2=mn+d(d-n)\leqslant mn\leqslant m(n+1)$

所以由数学归纳法原理就知命题对任意顶点数目的图G都成立。

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9楼2014-08-11 17:53:56

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Edstrayer

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图G是简单图吧？
否则，易举出反例的。
例如： $G=\{v_1,v_2,v_3\},E=\{v_1v_2,v_1v_2,v_1v_3,v_1v_3\}$ ，即G是三个顶点四条边的含圈图（不含成三角形的边），其中

$d(v_1)=4,d(v_2)=d(v_3)=2,n=3,m=4$

则有：

$\sum\limits_{v_i\in G}d^2(v_i)=4^2+2^2+2^2=24>3\times 4=12$

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2楼2014-08-11 12:16:04

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引用回帖:

2楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-08-11 12:16:04
图G是简单图吧？
否则，易举出反例的。
例如：G=\{v_1,v_2,v_3\},E=\{v_1v_2,v_1v_2,v_1v_3,v_1v_3\}，即G是三个顶点四条边的含圈图（不含成三角形的边），其中
d(v_1)=4,d(v_2)=d(v_3)=2,n=3,m=4
则有：
\sum ...

对，忘说了，是简单图，无圈无重边的。

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3楼2014-08-11 13:14:06

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Edstrayer

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你没有把问题的条件叙述清楚吧？
这个问题中的图G对于含圈的简单图也是成立的。
例如，设 $G=(V,E),\textbf{here} V=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\},E=\{v_1v_2,v_2v_3,v_3v_4,v_4v_5,v_5v_1\}$ ，即G是五个顶点的含圈的简单图，则有：

$d(v_i)=2(i=1,2,3,4,5),n=5,m=5$

于是就有：

$\sum\limits_{v_i\in G}d^2(v_i)=2^2\times 5=4\times 5=20<nm=5\times 5=25$

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4楼2014-08-11 14:27:30

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